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Valuation p adique

Posté par Profil Ramanujan 09-02-20 à 19:06

Bonsoir,

On dispose du lemme suivant :
Etant donné p \in \mathcal P et n \in \N^{*} on a v_p(n)=k si et seulement si il existe q premier avec p tel que n=p^k q.

Soit a et b 2 entiers relatifs non nuls et p un nombre premier.

1/ Montrer que v_p(a+b) \geq \min(v_p(a),v_p(b))
Réussi.
2/ Trouver a,b,p tels que v_p(a+b) > \min(v_p(a),v_p(b))
Réussi.
3/ Montrer que si v_p(a) \ne v_p(b) alors v_p(a+b)=\min(v_p(a),v_p(b))

Pour la 3, en posant \alpha =v_p(a) et \beta=v_p(b) et en considérant \alpha < \beta
On a : a+b = p^{\alpha} (q+p^{\beta-\alpha} r ) avec \beta-\alpha>0
On remarque que p^{\alpha} divise a+b

Mais je ne vois pas comment finir.

Posté par
lafol Moderateurre : Valuation p adique 09-02-20 à 19:13

Bonjour
que dire de pgcd(p;q) et pgcd(p; q+p^{\beta-\alpha}r) ? (programme de troisième quand tu étais au collège ....)

Posté par Profil Ramanujanre : Valuation p adique 09-02-20 à 20:51

Merci.

p et q sont premiers entre eux. Par ailleurs, comme \beta-  \alpha >0 alors p divise p^{\beta- \alpha} r . Ainsi p premier ne divise pas q+p^{\beta- \alpha} r .  Donc PGCD(p,q+p^{\beta- \alpha} r)=1
On en déduit le résultat d'après le lemme.

Posté par
lafol Moderateurre : Valuation p adique 09-02-20 à 23:26

tu as appris en troisième que pgcd(a,b) = pgcd(a,b-a) = pgcd(a, b-2a) ... = pgcd(a, b-na) : ce qui conduit à l'algorithme par divisions euclidiennes successives... tu pouvais donc directement dire que les deux pgcd de mon message précédent étaient égaux (et comme le premier vaut 1 ...)

Posté par Profil Ramanujanre : Valuation p adique 10-02-20 à 13:00

Je ne me souviens plus de cette propriété. Je vais tenter de la démontrer.

Faut-il montrer que \mathcal D(a) \cap \mathcal D(b) =  \mathcal D(a)  \cap  \mathcal D(b-na) ?

Posté par
lafol Moderateurre : Valuation p adique 10-02-20 à 13:36

utilisation répétée de pgcd(a,b) = pgca(a, b-a) ....

Posté par Profil Ramanujanre : Valuation p adique 10-02-20 à 14:00

lafol @ 10-02-2020 à 13:36

utilisation répétée de pgcd(a,b) = pgca(a, b-a) ....


Je cherche à démontrer que  pgcd(a,b) = pgca(a, b-a)

Posté par
matheuxmatoure : Valuation p adique 10-02-20 à 14:13

classique.... c'est ce qui justifie l'algorithme d'Euclide !

d=pgcd (a;b)

il est trivial que d divise a et b-a

par ailleurs, si d' est un diviseur de a et b-a

alors il divise a et a+(b-a), donc il divise a et b, donc d' divise d

moralité : d est le plus grand diviseur commun de a et b-a

cqfd

Posté par Profil Ramanujanre : Valuation p adique 10-02-20 à 18:34

Je n'ai pas trop compris le principe de votre démonstration.

D'après mon livre, pour déterminer le PGCD de 2 entiers a et b tous les 2 non nuls, il suffit d'exhiber un diviseur d commun à a et b qui vérifie l'implication :
\forall n \in \N \ (n \mid a \ \text{et} \ n \mid b) \implies n \mid d

Je pose donc d=PCDG(a,b-a)
d divise a et b-a, il divise donc a+b-a=b. d est un diviseur commun à a et b.

Maintenant soit n un diviseur de a et b. Je n'arrive pas à en déduire que n divise  d=PCDG(a,b-a)

Posté par
lionel52re : Valuation p adique 10-02-20 à 18:42

Si n divise c et d il divise le pgcd de c et d

Posté par
matheuxmatoure : Valuation p adique 10-02-20 à 18:54

il faudra quand même comprendre un jour ce qui a été moult fois détaillé dans des autres topics sur le sujet :

Le pgcd est le seul diviseur commun positif qui est multiple de tous les autres diviseurs communs

Le ppcm est le seul multiple commun positif qui divise tous les autres multiples communs

et arrêter de dire 'j'ai pas compris" ... ça devient lassant et prévisible ! Faudrait quand même essayer de profiter de toutes les remarques qui sont faites et de cumuler les connaissances

Posté par
matheuxmatoure : Valuation p adique 10-02-20 à 19:05

Ramanujan @ 10-02-2020 à 18:34



D'après mon livre, pour déterminer le PGCD de 2 entiers...

etc...



oui ben c'est ce que je fais

Posté par Profil Ramanujanre : Valuation p adique 10-02-20 à 19:20

@matheux
J'essaie d'appliquer les définitions de mon cours. Je préfère ne pas me disperser je n'ai pas le recul nécessaire.

@Lionel
Bien évidemment merci ça découle de la définition du PGCD

Posté par
matheuxmatoure : Valuation p adique 10-02-20 à 23:05

Ramanujan

faut arrêter la mauvaise foi là ! c'est exactement ce que je disais !


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