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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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variables aléatoires de même loi

Posté par
jbsph
17-04-24 à 19:06

Bonjour,
Je commence un chapitre sur les statistiques et je me rends compte que je n'ai pas compris une notion sur les variables aléatoires. Quelle est la différence entre avoir la même loi et être égales (pour deux ou n variables aléatoires)?. En fait je ne comprends pas la notion de série statistique. Une série statistique est un n-uplet (x_{1},...,x_{n}) = (X_{1}(\omega ),...,X_{n}(\omega )) où les (X_{i})_{i} ont même loi qu'une variable aléatoire X. Les (X_{i})_{i} ont même loi et un elt de \Omega admet donc des images différentes par ces différentes variables aléatoires. Quelqu'un peut-il m'expliquer ce que signifie avoir la même loi?

Posté par
carpediem
re : variables aléatoires de même loi 17-04-24 à 20:14

salut

ce n'est pas parce que les variables aléatoires X et Y suivent la même loi qu'elles sont égales et cela à lieu lorsque la réalisation de la première est distincte de la réalisation de la seconde.

traduction dans ton cas : X et Y suivent la même loi mais tu n'as pas forcément X(\omega) = Y(\omega)

et si X et Y suivent la même loi par exemple binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,2 alors évidemment P(X = k) = P(Y = k) pour tout k entre 0 et 10.

Posté par
verdurin
re : variables aléatoires de même loi 17-04-24 à 20:16

Bonsoir,
je dirais plutôt que la série statistique est \bigl(x_{1},...,x_{n}\bigr) = \bigl(X(\omega_{1} ),\ldots,X(\omega_{n} )\bigr), du moins quand on fait des statistiques sur une population physiquement existante.
Mais d'un point de vue mathématique il est plus simple de considérer des variables aléatoires différentes ayant toutes la même loi, c'est à dire la même fonction de répartition.
On a \text{P}(X_1\leqslant a)=\text{P}(X_2\leqslant a)=\dots=\text{P}(X_n\leqslant a) quelque soit le réel a.

Posté par
jbsph
re : variables aléatoires de même loi 18-04-24 à 08:15

Donc si j'ai bien compris, pour X,Y: \Omega \rightarrow \mathbb{R}, :
X=Y \Leftrightarrow\forall \omega \in \Omega , X(\omega ) = Y(\omega ) .
et,
\mathcal{L}(X) = \mathcal{L}(Y) \Leftrightarrow \forall B \in \mathfrak{B}(\mathbb{R}), \mathbb{P}(X\inB) = \mathbb{P}(Y\inB) \Leftrightarrow (\mathbb{P} \circ X^{-1})(B) = (\mathbb{P} \circ Y^{-1})(B)
et cette égalité n'implique pas X = Y, c'est bien ça?

Posté par
jbsph
re : variables aléatoires de même loi 18-04-24 à 08:19

pardon je voulais écrire \mathbb{P}(X \in B) = \mathbb{P}(Y \in B) juste après B borélien

Posté par
carpediem
re : variables aléatoires de même loi 18-04-24 à 13:07

oui c'est ça ...



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