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Variance d'un estimateur

Posté par
mi9dam 18-06-22 à 21:05

Bonjour tout le monde !

J'ai du mal à trouver la variance d'une estimateur...
Je vais présenter les données fournies:
Soit (X_1,X_2,...,X_n) un échantillon de taille n de variables aléatoires indépendantes tel que E(X_i)=m  et Var(X_i)=\sigma^2.
On désire estimer \sigma^2 sachant que m est inconnu.
Il me donne cet estimateur \hat{\sigma^2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(X_i-\bar{X})^2} .
Questions:
Est-ce que l'estimateur est sans biais? il est convergent?
J'ai trouvé que l'estimateur est biaisé, la fonction de biais de cet estimateur est B(\hat{\sigma^2}) = \frac{n-1}{n}\sigma^2
maintenant il me reste la question de la convergence, et pour cela il faut trouver la variance de estimateur.
je suis bloqué ici : Var(\hat{\sigma^2}) = Var(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(X_i-\bar{X})^2 =\frac{1}{n^2}Var(\sum_{i=1}^{n}{(X_i-\bar{X})^2)
Merci en avance.

Posté par
Zrunre : Variance d'un estimateur 18-06-22 à 22:12

Bonsoir ,

As-tu essayé de voir ce qu'il se passe en développant les carrés dans la définition de l'estimateur ?

Posté par
mi9damre : Variance d'un estimateur 19-06-22 à 20:59

Zrun
Bonsoir,
Oui j'ai essayé de développer les calcules mais ils deviennent fastidieux et je n'arrive pas à trouver une solution.


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