Bonjour

Il faut étudier le signe des 3 facteurs pas un tableau de signe . En l'occurence ici , x²+15 et (x²+3)² sont strictement positifs quelque soit x , donc il te suffit juste d'étudier le signe de 1-x² soit (1+x)(1-x)

salut
Pour étudier les variations d'une fraction, j'ai l'habitude d'étudier le signe de sa dérivée.
Pour cela, j'étudie le signe du numérateur de la dérivée puis du dénominateur de la dérivée dans un tableau de signes.
Ici numérateur et dénominateur sont des polynomes. Pour trouver leurs signes tu dois trouver leurs racines (si il y en a...) et en déduire le signe de la dérivée.

f'(x) = -(x^4+14x^2-15) / (x^2+3)^2)
le dénominateur est au carré donc il est toujours positif ! ça c'est fait !!

Etudions le signe du numérateur
Les racines se trouvent en faisant un changemant de variable. Posons X=x^2
numérateur devient
-(X^2 + 14X - 15)
1 est une racine évidente si on remplace x par 1 on constate que le polynome s'annule.
on en déduit que -15 est l'autre racine.

on a X{1;-15}
il suffit maintenant de revenir à notre variable initiale
X=x^2 est impossible si X=-15 (dans )
X=x^2 si X=1 signifie que x=1 ou x=-1

Les racine du numérateur sont x1=1 ou x2=-1

-(x^4+14x^2-15) est l'équation d'une parrabole du signe  de -a entre les racines et du signe de a à l'extérieur de racines.

La dérivée de ta fonction est négative sur ]-;-1[
La dérivée de ta fonction est positive sur ]-1;1[
La dérivée de ta fonction est négative sur ]1;]

Ta fonction est donc décroissante sur ]-;-1[, puis croissante sur ]-1;1[, puis de nouveau décroissante sur ]1;]...

Sauf étourderie comme dirais l'autre