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Variation de pourcentages.

Posté par
Liz0uill3 08-11-09 à 18:01

Bonsoir à tous,
Je dois réaliser un exercice qui me pose problème. J'ai essayé de tourner les questions dans tous les sens mais cela reste un peu flou

Voici l'énoncé:
Lors d'une année exeptionelle, la production de fruits et légumes d'un agriculteur a augmenté de t%. Vu l'abondance de ces produits, leur prix a chuté de t'%
On note P le prix et Q la quantité produite lors d'une année normale.

1) Exprimer, en fonction de t et t', la variation en pourcentages de la recette de cet agriculteur par rapport à une année normale
[Petite parenthèse : je me demandais si il fallait savoir calculer une recette pour cette question? et, si oui, comment la calculer ?]

2)a. Etudier le cas où t = 40 et t' = 30
b. Etudier le cas où t = 30 et t' = 20
c. Si t = 40, quelles valeurs peut-on donner à t' pour que la recette de l'agriculteur soit au moins égale à celle d'une année normale ?


Voilà, j'espère pouvoir bénéficier de votre aide
Merci d'avance.

Posté par
pythamedere : Variation de pourcentages. 09-11-09 à 09:35

Augmenter de t%, c'est multiplier par (1+\frac{t}{100})
Diminuer de t ' %, c'est multiplier par (1-\frac{t'}{100})

Donc si le Q a augmenté de t % (appelons Q_1 la quantité nouvellement produite), c'est que :

Q_1=Q\times (1+\frac{t}{100})

Et si le prix unitaire a diminué de t ' % (appelons P_1 le nouveau prix), c'est que :

P_1=P \times (1-\frac{t'}{100})

La recette initiale était PQ, la nouvelle recette est P_1Q_1 :

P_1Q_1=Q\times (1+\frac{t}{100})P \times (1-\frac{t'}{100})=PQ\times (1+\frac{t}{100}) \times (1-\frac{t'}{100})

La variation en pourcentage de la recette est le nombre t'' tel que :

P_1Q_1=PQ\times(1+\frac{t''}{100})

Par conséquent : PQ\times(1+\frac{t''}{100}) =PQ\times (1+\frac{t}{100}) \times (1-\frac{t'}{100})
Donc :
(1+\frac{t''}{100}) =(1+\frac{t}{100}) \times (1-\frac{t'}{100})

t''=100\times[(1+\frac{t}{100}) \times (1-\frac{t'}{100})-1]

t''=100\times[(\frac{100+t}{100}) \times (\frac{100-t'}{100})-1]

t''=(\frac{(100+t)(100-t')-10000}{100})

t''=(\frac{10000+100t-100t'-tt'-10000}{100})

t''=(\frac{100t-100t'-tt'}{100})

t''=t-t'-(\frac{tt'}{100})

Pour les questions 2a et 2b il suffit d'appliquer la formule !

Pour la question 2c, il suffit de résoudre l'équation :

t''=0, c'est à dire :

t-t'-(\frac{tt'}{100})=0

t est connu (il vaut 40) c'est une équation du premier degré à une inconnue t' !

Posté par
Liz0uill3re : Variation de pourcentages. 09-11-09 à 21:59

Bonsoir,
Merci de votre aide, je pense avoir globalement compris
Je voulais juste savoir, le t'', c'est t + t' ou non ?

Et j'ai résolu l'équation mais je crois que je me suis trompée :/
t-t' -  (tt'/100) = 0
40-t'-(40 x t'/100) = 0
40-t' = 40 x t'/100
40 = (40 x t'/100) - t'
4000 = 40 x t'-t'
3960

Voilà
Merci encore une fois de votre aide

Posté par
pythamedere : Variation de pourcentages. 10-11-09 à 10:21

Citation :
Merci de votre aide, je pense avoir globalement compris
Je voulais juste savoir, le t'', c'est t + t' ou non ?


Mais non ! t'' c'est "La variation en pourcentage de la recette" consécutive à l'augmentation en pourcentage de t sur la production et la diminution en pourcentage de t ' du prix de vente !

t'' n'est justement pas égal à t+t', puisqu'il est égal à : t'' = t-t'-(\frac{t\,t'}{100})

D'ailleurs la question suivante elle-même le confirme : "quelle doit être la diminution t' pour que t'' soit égal à 0 ?" ! Si on laisse tomber le terme -(\frac{t\,t'}{100}) qui est effectivement petit par rapport à t et à t', on voit bien que t'' \approx t-t' et certainement pas égal à t+t' !

Citation :
Et j'ai résolu l'équation mais je crois que je me suis trompée :/
t-t' -  (tt'/100) = 0
40-t'-(40 x t'/100) = 0
40-t' = 40 x t'/100
40 = (40 x t'/100) - t'
4000 = 40 x t'-t'
3960


Tout à fait d'accord ! Tu t'es trompée !
Normalement, la solution d'une équation à une inconnue t' doit être du type t'=... Où donc a disparu t' ?

Alors je te conseille de ne pas remplacer t tout de suite par 40 !

Voici ce qu'il fallait faire :

t-t'-(tt'/100)=0

Je multiplie tout par 100 :

100(t-t')-tt'=0
Je développe :

100t-100t'-tt'=0

Je regroupe les termes faisant intervenir t', l'inconnue :

100t=100t'+tt'
100t=t'(100+t)

Et je divise tout par (100+t) :

(100t)/(100+t)=t'

ou t'=100t/(100+t)

Ce n'est que tout à fait à la fin que tu dois remplacer t par 40 ! C'est bien plus simple !

Donc t'=100*40(140)=4000/140=400/14=200/7\approx 28.57

Donc si la production augmente de 40% et si le prix diminue de (200/7) % cela signifie que la recette restera la même. Vérifions le !

Au départ, production Q, prix P, donc recette R=PQ

A l'arrivée : production Q*(1,4), prix P*(1-200/7), recette R '=Q*1.4*P*(1-200/(7*100))

R '= Q*1.4*P*(1-200/(7*100))

R '= PQ*1.4*(1-2/7)

R '= PQ*1.4*(5/7)

R '= PQ*(14/10)*(5/7)

R '= PQ*(14*5/(10*7)

R '= PQ*(70/70)

R'=PQ !

La recette n'a effectivement pas changé !

Tu constates également que t=40, que t'\approx 28.57 et donc que t+t'\approx 68.57 ! Alors que t''=0 !

t+t' ne signifie absolument rien ici. t-t' par contre peut être une approximation de t''. Ici t-t'\approx 11.43, très mauvaise approximation de 0, ceci parce que les pourcentages sont importants. Si t=2 et t'=1, par exemple, (soit 2% d'augmentation sur la production et 1% de diminution sur le prix, alors

t'' = t-t'-(\frac{t\,t'}{100})

t'' = 2-1-(\frac{2}{100})=1-0,02=0,98

On voit que t-t' qui vaut 1 est effectivement une bonne approximation de t'' qui vaut 0,98 ! Lorsque les pourcentages sont petits, on peut faire des approximations valables. Mais avec t=40 et t'=28,57 il est normal que l'approximation soit très mauvaise !

Posté par
Liz0uill3re : Variation de pourcentages. 10-11-09 à 18:35

D'accord! Merci
Pour le 2) a, où il fallait remplacer t par 40 et t par 30, j'ai opéré ainsi :

PQ(1+t''/100) = PQ x (1+t/100)(1-t'/100)
PQ(1+t''/100) = PQ(1+40/100)(1-30/100)
(1+t''/100) = 1.4 x 0.7
(1+t''/100) = 0.98
t'' = (0.98-1)/100
t'' = -2

La recette a donc diminué de 2%

Est-ce correct ? Ou faut - il, comme pour le c), remplacer 30 et 40 plutôt à la fin ?!

Posté par
pythamedere : Variation de pourcentages. 10-11-09 à 19:02

Citation :
(1+t''/100) = 0.98

jusque là, c'est correct... Mais,
Citation :
t'' = (0.98-1)/100

Ca, c'est faux !
(1+t''/100) = 0.98
t''/100=0.98-1
t''/100=-0.02
t''= -2

Ton résultat est quand même correct, car tu as fait une autre faute ensuite qui a rectifié miraculauesement le tir !

Citation :
Ou faut - il, comme pour le c), remplacer 30 et 40 plutôt à la fin ?!


Remplacer par 30 et 40 à la fin, c'est uniquement pour ton confort, pour ton bien !

Si tu aimes ça, ça ne me dérange pas. Simplement, remplacer t et t' par 30 et 40 tout de suite, c'est plus compliqué, plus difficile et finalement tu as plus de chances de faire des erreurs !

Posté par
Liz0uill3re : Variation de pourcentages. 10-11-09 à 19:16

Ok merci beaucoup ! je ne vous remet pas le petit  b) du 2), je prend exemple sur le petit a).

J'aurais une autre question a vous poser concernant un autre exercice, est-ce que je recrée un post ou je vous l'écrit ici ?!

Posté par
Liz0uill3re : Variation de pourcentages. 11-11-09 à 11:33

Par contre, je me suis rendue compte que le résultat de la question 2)a. était t'' = -2 %
Mais on me dit que la recette a augmenté cette année là, et la elle diminue Je ne comprend pas.

Quand au c., vous m'avez bien aidée mais dans l'énoncé c'est précisé quelleS valeurS peut-on donner à t', hors vous ne m'avez proposé que 28.57

Si vous repassez par là ... Merci pour votre réponse

Posté par
pythamedere : Variation de pourcentages. 11-11-09 à 14:05

Est-ce que tu n'envisages pas toujours que tu peux t'être trompée ? C'est très sage de le faire !
Eh bien, sache qu'il est également très sage d'envisager une erreur chez les autres !

Tout le monde peut se tromper, et il n'est pas exclu que le "on" de "Mais on me dit que la recette a augmenté cette année là, et la elle diminue" se soit trompé, si ?

Moi aussi, je peux me tromper ! Alors, il faut vérifier, et re-vérifier ! Mais si "on" te dit quelque chose, pense à vérifier par toi-même, il arrive parfois que "on" se trompe, lui aussi !


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