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Vecteur et orthocentre

Posté par
Anthony 21-12-04 à 21:41

Salut !

un exo que je ne comprend pas vraiment

------------------------------------------------------

Soit ABC un traingle quelconque.
Les points A', B' et C' sont les milieux respectifs des côtés [BC], [CA] et [AB].
O est le centre du cercle circonscrit au triangle.
On considere le point H defini par le relation:

\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}

1) Montrer que l'on a \vec{AH} = 2\vec{OA}' ( c'est bien  A' )
En deduire que (AH) est une hauteur du triangle ABC.

2) Par un raisonnement analogue , montrer que (BH) est une autre hauteur du triangle.

3) Conclusion Que represente H pour le triangle ABC ?

------------------------------------------------------

Voila !!

pour la question 3 je sais que H est l'orthocentre du traiangle ABC.

Mais pour le reste ...

Merci d'avance

Posté par miquelon (invité)re : Vecteur et orthocentre 21-12-04 à 21:51

Bonjour,

1°) Une idée est de décomposer les vecteurs par la formule de Chasles.

Je ne sais pas faire les flèches mais ne pas les oublier (ce sont des vecteurs).
OH = OA + AH
OB = OA + AA' + A'B
OC = OA + AA' + A'C

Je vous laisse continuer et conclure.

Posté par miquelon (invité)re : Vecteur et orthocentre 21-12-04 à 21:55

En regardant plus attentivement votre question, il vaut mieux décomposer les vecteurs OB et OC comme suit :

OB = OA' + A'B
OC = OA' + A'C

Posté par
Nightmarere : Vecteur et orthocentre 21-12-04 à 22:02

Salut anthony

\begin{tabular}\vec{OH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{0C}&\Longleftrightarrow&\vec{OA}+\vec{AH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}\\&\Longleftrightarrow&\vec{AH}=\vec{OB}+\vec{OC}\\&\Longleftrightarrow&\vec{AH}=\vec{OA'}+\vec{A'B}+\vec{OA'}+\vec{A'C}\\&\Longleftrightarrow&\vec{AH}=2\vec{OA'}+\vec{A'B}+\vec{A'C}\\&\Longleftrightarrow&\vec{AH}=2\vec{OA'}+\vec{0}\\&\Longleftrightarrow&\fbox{\vec{AH}=2\vec{OA}}\end{tabular}

(OA') étant perpendiculaire à (BC) et passant par son milieu , cette derniére relation nous prouve qu'il en est de même pour (AH) . Cette derniére est donc une hauteur du triangle

Je pense qu'a partir de ca tu devrais pouvoir faire le reste


jord

Posté par
Anthonyre : Vecteur et orthocentre 22-12-04 à 13:03

Salut et merci miquelon et nightmare

alors pour le 2 :

\vec{OH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}
\vec{OB}+\vec{BH} =\vec{OB'}+\vec{B'A}+\vec{OB}+\vec{OB'}+\vec{B'C}
\vec{BH}=2\vec{OB'}+\vec{B'A}+\vec{B'C}
\vec{BH}=2\vec{OB'}


(OB') étant perpendiculaire à (AC) et passant par son milieu , cette derniére relation nous prouve qu'il en est de même pour (BH) . Cette derniére est donc une hauteur du triangle.

voila...

pour la 3eme je cite le théoreme des orthocentre qu'il y a sur mon cours .

est-ce bon ?

Merci d'avance

Posté par
Anthonyre : Vecteur et orthocentre 22-12-04 à 13:04

ha ! hem j'ai oublier de metre le latex  entre les balise [ tex][ /tex] .

un modo pourrait me le faire ?

Merci !

Posté par
Victorre : Vecteur et orthocentre 27-12-04 à 19:11

C'est fait Anthony, avec un peu de retard


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