j'ai reellement besoin d'aide, c'est pour un dm a rendre rapidement et malgré de multiples tentatives, je ne trouve pas la solution...

Bonjour,
en principe, quand on pose ce exo, on définit un vecteur OH=OA+OB+OC
et on montre que H est l'orthocentre du triangle.
je vais te faire la démo à partir de ce point H
OB+OC=2OA' (méthode classique pour obtenir la somme de 2 vecteurs)
et si tu prends 2OA'+OA, pour obtenir la somme de ces 2 vecteurs, tu construis un //logramme dont les sommets
sont A1 symétrique de O par rapport à A', O et A
donc AH est  // à OA1 et comme OA1 est la médiatrice de [BC], donc perpendiculaire à (BC) (ce sont les côtés opposés dans le //logramme et ils sont //)
AH est donc perpendiculaire à (BC) et H est donc sur la hauteur issue de A dans le triangle ABC
Si tu prends maintenant OA+OC c'est égal à 2OB' et si
tu additionnes 2OB'+OB tu vois que le point H que tu obtiens sera sur une droite (BH) qui sera perpendiculaire à (AC) et H est donc sur la hauteur issue de B
H est donc l'orthocentre du triangle.
tu te souviens en suite que vectoriellement, le centre de gravité d'un triangle ABC est défini par la relation
GA+GB+GC=0
=GO+OA+GO+OB+GO+OC
=3GO+OA+OB+OC=0
et comme on vient de voir que
OA+OB+OC=OH
la relation devient donc
3GO+OH=0
OH=3OG
cette relation vectorielle prouve que les 2 vecteurs
OH et OG sont colinéaires donc que les point
O,G, H sont alignés
Bon travail