Bonjour,

Dans un rectangle ABCD, I est milieu de AD, E l'intersection de AC et
IB, J le symétrique de I par rapport à D, et K le point tel que vec
AK = 3vecAB.
(vec = vecteur).
Il s'agit de prouver l'alignement de J, C et K, en utilisant deux méthodes
successives.
1) D'abord en utilisant une égalité entre deux vecteurs.
On me demande d'exprimer vecJD en fonction de vecJA.
D'après les hypothèses, puisque J est symétrique de I par rapport à D, j'en
déduis que D est milieu de IJ,
donc que vecJD = 1/3 vecJA.
Ensuite exprimer vecJK en fonction de vecJD et vec AB.
J'ai trouvé vec JK = 3vecJD + 3 vecAB.
Il me faut ensuite en déduire vec JK en fonction de vec JC.
Là, je n'y arrive plus. Je sais que je dois décomposer 3vecJD + 3vecAB
pour arriver à quelque chose comme vec JK = k(JC) pour prouver l'alignement
des points J, C et K.
Mais je n'arrive pas à décomposer 3vecJD + 3vecAB pour le ramener à vec
JC.
Quelqu'un peut-il me donner un début de piste pour avancer ? Merci d'avance.

2) Pour la deuxième méthode, on me demande d'utiliser la réciproque
de Thalès pour montrer que (JK) est parallèle à (IB), ensuite démontrer
que BCJI est un parallélogramme, en déduire que (JK) est parallèle
à (JC), et conclure.

D'après la réciproque de Thalès, pour que JK soit parallèle à IB, il faut
que AI/AJ = AB/AK. Comment dois-je faire pour vérifier l'égalité
? Dois-je utiliser mesurer les longueurs directement sur la figure
? Ou dois-je me servir des vecteurs ?
On a pas encore fait ce genre d'exercices en cours, je suis un peu perdu.

Merci d'avance pour votre aide.