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Vecteurs Dm 2
Bonjour, j'ai un dm à faire mais je suis bloquée pour cette exercice à la question 2. Je vous remercie d'avance pour votre aide.
Exercice :
Dans un repère orthonormé, on considère les points A(1 ; -1), F(4 ; 1), R(2 ; 4) et
N(-1 ; 2)
1) Montrer que AFRN est un parallélogramme
2) Démontrer que AFRN est un carré.
Voici ce que j'ai fait :
AF = NR ?
AF (4-1 ; 1- (-1)) = ( 3 ; 2)
NR = ( 2- (-1) ; 4-2) = (3 ; 2)
(Se sont des vecteurs, malheureusement je n'ai pas réussi à mettre les flèches)
Les angles? Un carré possède 4 angles droit contrairement a un parallélogramme qui lui n'en possède pas
oui mais précisément, c'est à dire qu'est-ce qui caractérise un carré
ce n'est pas "un parallélogramme avec quatre angles droits"
En plus, les angles, ça ne se vérifie pas facilement avec les coordonnées (on peut, mais ça demande plus de calculs)
raisonne plutôt sur les longueurs, et distingue bien tous les types de quadrilatères particuliers (parallélogrammes, rectangles, losanges, carrés)
NA = (1 - (-1) ; -1 - 2) = (2 ; -3)
RF = (4- 2 ; 1-4) = (2 ; -3)
NA=
(1 - (-1))2 + (-1 -2)2
= 4 + 9
=13
RF = (4-2)2 + (1-4)2
= 4 + 9
=13
Y a t-il des erreurs ?
Je t'avais proposé à 20h23 de montrer d'abord que c'était un losange, puis que ce losange était un carré . . .
Comment se caractérise un losange ?
Un angle droit est suffisant
Comment montre-t-on qu'il y a un angle droit ?
Quelle est l'autre possibilité ? Elle concerne les diagonales.
norme de AF = 32 + 22 = 9 + 4 = 13
RF = 13
AR = ?
Avant de commencer, les valeurs sont-elles justes ?
Ce n'est pas la peine de recalculer AF et FR vous l'avez déjà effectué pour montrer que c'était un losange
Il ne restait à calculer que AR
Question 1 AFRN est un parallélogramme
Question 2
première partie
AF=AN AFRN est alors un losange
deuxième partie qui reste à montrer AFRN est un rectangle
Pour ce faire on veut montrer que AFR est un triangle rectangle
On a les côtés de l'angle droit reste à calculer la longueur de AR et à vérifier la réciproque de Pythagore
On pourra alors conclure que c'est un carré
Pour calculer AR, il faut utiliser Pythagore dans le triangle AFR rectangle en F :
RF = 13
AF = 13
AR = ?
AR2 = AF2 + FR2
AR2 = 132 + 132
AR2 = 13 + 13
AR2 = 26
AR = 26
Pour prouver que le triangle AFR est rectangle en F il faut utiliser la réciproque de Pythagore:
On calcule d'une part : AR2 = 262 = 26
Et d'autre part : AF2 + FR2 = 132 + 132 = 26
On voit que les résultats sont égaux, donc le triangle AFR est rectanngle en F
Alors AFRN est un carré.
Vous tournez en rond vous vous servez de Pythagore pour calculer AR et vous dites ensuite que le théorème est vérifié
Montrons que AFR est un triangle rectangle
Nous avons déjà calculé AF et FR
Calculons
à faire
Nous avons donc . D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AFR est donc rectangle en F.
Le parallélogramme AFRN a un angle droit, c'est donc un rectangle.
Le parallélogramme, étant à la fois rectangle et losange, est donc un carré.
Oui mais je me mélange un peu entre longueur, vecteur ...
Puis-je réécrire l'exercice afin de vérifier qu'il ne manque rien et de vérifier si tout a été assimiler de mon côté ?
Il est vrai que mettre une flèche sur un cahier c'est plus simple que sur un clavier
est bien pour cela
vecteur
AB distance de A à B
droite
demi-droite d'origine A passant par B
segment
ensemble à deux éléments ...
Si vous voulez
1) AF = NR ?
AF (4-1 ; 1- (-1)) = ( 3 ; 2)
NR = ( 2- (-1) ; 4-2) = (3 ; 2)
2)1er étape = Prouver que AFRN est un losange
NA = (1 - (-1) ; -1 - 2) = (2 ; -3)
RF = (4- 2 ; 1-4) = (2 ; -3)
NA= (1 - (-1))2 + (-1 -2)2
= 4 + 9
=13
RF = (4-2)2 + (1-4)2
= 4 + 9
=13
AF=AN= 13 AFRN est un losange
2ème étape : Montrer que AFRN est un rectangle pour cela, il faut montrer que AFR est un triangle rectangle en F:
AF2 + FR2
= 132 + 132
= 26
AR2 = (xR- xA)2 + (yR - yA) 2
AR2 = (2 - 1) 2 + (4 - (-1))2
= 1 + 25
= 26
AR2 = AF2 + FR2
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AFR est donc rectangle en F.
Le parallélogramme AFRN a un angle droit, c'est donc un rectangle.
Le parallélogramme, étant à la fois rectangle et losange, est donc un carré.
Voila, j'ai repris certaines de vos phrases. Merci pour vos explications sur LaTeX. Mais honnêtement je ne pense pas être capable d'utiliser cette outil.
AF = NR ?
AF (4-1 ; 1- (-1)) = ( 3 ; 2)
NR = ( 2- (-1) ; 4-2) = (3 ; 2)
AFRN est un parallélogramme si et seulement si
Calcul
Leurs coordonnées sont les mêmes donc les vecteurs sont égaux. Le quadrilatère est donc un parallélogramme.
Question 2
Montrons d'abord que c'est un losange Calculons les longueurs de 2 côtés adjacents.
NA \ (1 - (-1) ; -1 - 2) = (2 ; -3) Pas de = on n'est pas dans le même ensemble
RF \ (4- 2 ; 1-4) = (2 ; -3)
NA=
Les longueurs étant égales, le parallélogramme AFRN est donc un losange.
Il y a aussi toutes sortes de possibilités ; Par conséquent, conséquemment, il en résulte, il appert, On en déduit que
pour éviter la répétition de donc
Puis la fin avec cette remarque
2ème étape : Montrer que AFRN est un rectangle pour cela, il faut montrer que AFR est un triangle rectangle en F:
AF2 + FR2
=
132 + 132
= 26
AR2 = (xR- xA)2 + (yR - yA) 2
AR2 = (2 - 1) 2 + (4 - (-1))2
= 1 + 25
= 26
AR2 = AF2 + FR2
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AFR est donc rectangle en F.
Le parallélogramme AFRN a un angle droit, c'est donc un rectangle.
Le parallélogramme, étant à la fois rectangle et losange, est donc un carré.
mon devoir sera parfait grâce à vous. De plus, je sais, je me répète souvent mais merci de me l'avoir fait remarquer.
Je vais vous donner l'autre possibilité
Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur alors c'est un rectangle
Comme vous aviez déjà les longueurs des côtés il était plus simple de calculer la longueur d'une seule diagonale et montrer que l'on avait un triangle rectangle
Ah mais oui, les diagonales. Je pense que ça n'aurait pas changer grand chose. Mais la façon dont nous avons résolu le problème est tout de même plus simple.
L'avantage des diagonales résulte du fait que l'on n'a pas besoin du résultat de calculs précédents.
Si l'on ne demande que rectangle, il est sans doute préférable de choisir les diagonales .
Il n'y a pas de problème on a bien montré que c'était un carré :
parallélogramme
puis losange 2 côtés consécutifs suffisent pour que les quatre soient de même mesure
puis rectangle un seul suffit pour que les quatre le soient.
À partir de 16 42 c'est une digression sur l'autre manière de faire
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