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Vecteurs et centre de gravité 2nd

Posté par
bignounours 02-02-19 à 16:44

Bonjour,
Je dois faire un DM de mathématiques pour ce lundi, je l'ai commencé mais je bloque sur la dernière question. Voici l'énoncé: ( -> signifie vecteur)
" On rappelle que les médianes d'un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle.
Soit un triangle ABC, et A', B', C' les milieux des cotés [BC], [CA], et [AB].
1.On cherche G tel que (->GA) + (->GB) +(->GC) = 0
a. Démontrer que (->GB) + (->GC) = (->2GA)
b. En déduire (->AG) en fonction de( -> AA')
2. Tracer le triangle ABC, et construire G.
(JUSQU'ICI JE N'AI AUCUN PROBLEME)
3. Quelles autres égalités peut-on écrire de même? Qu'en déduit-on sur le point G ?

Voila, c'est au 3. que je n'arrive pas. J'ai quand même cherché et voila ce que j'ai trouvé:
G est aussi le centre de gravité du triangle C'B'A' dont les points sont les milieux des côtés du triangle ABC, dont le centre de gravité est G. Mais je ne sais pas quoi en déduire sur G?
J'espère que vous pourrez m'aider,
Merci d'avance!  

Posté par
heklare : Vecteurs et centre de gravité 2nd 02-02-19 à 16:49

Bonjour

la relation vectorielle \vec{AG}=\dfrac{2}{3}\vec{AA'}  montre que les points A, G et A' sont alignés donc que G appartient à (AA') qui est une ...

vous avez 3 sommets ce que vous avez fait avec A et A' vous pouvez le refaire  avec B et B' ou C et C'

Posté par
bignounoursre : Vecteurs et centre de gravité 2nd 02-02-19 à 17:33

Je me rends compte que ma réponse au petit b de la question 1 est fausse. Normalement, je devrais obtenir (->AG)= 2/3(->AA') si j'ai bien compris. Seulement je ne compends pas comment l'obtenir... Pourriez vous m'aidez svp?

Posté par
Priamre : Vecteurs et centre de gravité 2nd 02-02-19 à 17:43

Comment as-tu fait pour répondre à la question 1.a) ?

Posté par
bignounoursre : Vecteurs et centre de gravité 2nd 02-02-19 à 17:46

J'ai trouvé (vecteurs): AA'=AG+GA
Ainsi AA'=AG+1/2(GB+GC)
Et donc : AG=2/3(AA')
Mais est ce que il manque des justifications entre la deuxieme et la derniere étape ?

Posté par
heklare : Vecteurs et centre de gravité 2nd 02-02-19 à 17:47

vous avez au départ  \vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}

vous avez montré que \vec{GB}+\vec{GC}=2\vec{GA'}

donc \vec{GA}+2\vec{GA'}=\vec{0}

décomposez \vec{GA'} en faisant intervenir le point A

Posté par
bignounoursre : Vecteurs et centre de gravité 2nd 02-02-19 à 17:47

Ca c'est ce que je viens de trouver grâce à votre réponse à mon premier message

Posté par
heklare : Vecteurs et centre de gravité 2nd 02-02-19 à 17:52

vous en êtes où alors  ?

\vec{GA'}=\vec{GA}+\vec{AA'}

Posté par
Priamre : Vecteurs et centre de gravité 2nd 02-02-19 à 17:56

1.b) Je commencerais plutôt par exprimer le vecteur AA' en fonction des vecteurs AB et AC, pour ensuite utiliser la relation vectorielle de définition du point G.

Posté par
bignounoursre : Vecteurs et centre de gravité 2nd 02-02-19 à 18:36

GA+GB+GC=0
Donc GB+GC=GA'+A'B'+GA+A'C
Or A'B+A'C=0
Donc GB+GC=2GA'
Ainsi GA+2GA=0
et GA'=GA+AA'
Donc GA=GA'-AA' ?
Mais je ne comprends pas, normalement nous devons exprimer AG en fonction de AA' et non GA'...

Posté par
Priamre : Vecteurs et centre de gravité 2nd 02-02-19 à 18:39

Tu n'as pas essayé la méthode que je t'ai suggérée ?

Posté par
bignounoursre : Vecteurs et centre de gravité 2nd 02-02-19 à 18:47

Mais comment fait on pour obtenir AG=2/3(AA') du coup ? J'aimerai bien quelques explications parce que je suis totalement perdue...

Posté par
heklare : Vecteurs et centre de gravité 2nd 02-02-19 à 18:48

vous avez alors

\vec{GA}+2\vec{GA'}=\vec{0}

en décomposant \vec{GA'} (17: 52

vous aurez bien \vec{GA} en fonction de \vec{AA'}

Posté par
bignounoursre : Vecteurs et centre de gravité 2nd 02-02-19 à 18:49

Priam @ 02-02-2019 à 18:39

Tu n'as pas essayé la méthode que je t'ai suggérée ?
Mais je n'ai pas trop compris est ce que vous pourriez me l'expliquer? Je viens de passer l'apres midi sur ce devoir, et je n'y comprends toujours rien ...

Posté par
heklare : Vecteurs et centre de gravité 2nd 02-02-19 à 18:52

vous pouvez continuer  ce que vous avez commencé  c'est la suite de la question précédente

Posté par
bignounoursre : Vecteurs et centre de gravité 2nd 02-02-19 à 19:00

hekla @ 02-02-2019 à 18:48

vous avez alors

\vec{GA}+2\vec{GA'}=\vec{0}

en décomposant \vec{GA'} (17: 52

vous aurez bien \vec{GA} en fonction de \vec{AA'}


Donc:  GA' =GA+AA'
Ainsi : 1/2(GB+GC)=GA+AA'
Donc :  GA=AA'-1/2(GB+GC)
Et -GA=AG
Ainsi AG=1/2(GB+GC)-AA'
Est ce que je suis sur la bonne piste ou pas du tout ?

Posté par
heklare : Vecteurs et centre de gravité 2nd 02-02-19 à 19:06

????  pourquoi faire simple

\vec{GA}+2\vec{GA'}=\vec{0}

or  \vec{GA'}=\vec{GA}+\vec{AA'}

donc \vec{GA}+2(\vec{GA}+\vec{AA'})=\vec{0}

\vec{GA}+2\vec{GA}+2\vec{AA'}=\vec{0}

concluez

Posté par
bignounoursre : Vecteurs et centre de gravité 2nd 02-02-19 à 19:18

Mais, on n'exprime pas AG en fonction de AA' du coup... Comme je suis toujours un peu perdue, ca vous dérangerait si on faisait un petit récapitulatif des solutions, parce que j'ai tout mélangé

Posté par
bignounoursre : Vecteurs et centre de gravité 2nd 02-02-19 à 19:22

Donc pour répondre à 1. a)

J'utilise la relation de Casles:

CB+GC=CA'+A'B+GA'+A'C

Or: A'B+A'C=O

Donc GB+GC=2GA

Est ce que cette première démonstration est correcte? (il faut démontrer que GB+GC=2GA')

Posté par
heklare : Vecteurs et centre de gravité 2nd 02-02-19 à 19:33

il aurait fallu vous relire car une fois on a C et une autre fois il manque le '

question a  \vec{GB}=\vec{GA'}+\vec{A'B}

\vec{GC}=\vec{GA'}+\vec{A'C}

d'où \vec{GB}+\vec{GC}=2\vec{GA'}+\vec{A'B}+\vec{A'C}

or  \vec{A'B}+\vec{A'C}=\vec{0}  A' étant le milieu de[BC]

donc \vec{GB}+\vec{GC}=2\vec{GA'}

b ) en remplaçant \vec{GB}+\vec{GC}   dans la relation de départ

par le résultat précédent

on obtient

\vec{GA}+2\vec{GA'}=\vec{0}

or  \vec{GA'}=\vec{GA}+\vec{AA'}

donc \vec{GA}+2(\vec{GA}+\vec{AA'})=\vec{0}

\vec{GA}+2\vec{GA}+2\vec{AA'}=\vec{0}


il reste deux lignes à écrire

Posté par
bignounoursre : Vecteurs et centre de gravité 2nd 02-02-19 à 19:45

Donc GA+2GA+2AA'=0

3GA+2AA'=0

Et donc AG=2/3(AA')

Est ce que c'est ca ?

Posté par
heklare : Vecteurs et centre de gravité 2nd 02-02-19 à 20:09

c'est bien ce que j'ai écrit dans le premier message

Posté par
bignounoursre : Vecteurs et centre de gravité 2nd 02-02-19 à 20:19

D'accord merci beaucoup, j'ai eu beaucoup de mal a comprendre, mais c'est bon j'ai tout compris maintenant, j'ai fini cet exercice, même le petit 3, avec la méthode. Je me suis rendue compte que l'on pouvait faire autrement aussi, donc il y avait plusieurs méthodes pour enfaite trouver le même résultat. Donc merci beaucoup,

Bonne soirée et encore merci de m'avoir aidé toute l'après midi

Posté par
heklare : Vecteurs et centre de gravité 2nd 02-02-19 à 20:31

le début était très bien mais à un certain moment vous avez perdu l'objectif et vous avez tourné en rond  
il y a souvent plusieurs méthodes et les objectifs ne sont pas toujours les mêmes
là on avait une relation vectorielle et on voulait caractériser le point pour lequel cette égalité était vérifiée  de temps en temps  on sait que G est le centre de gravité et il faut montrer qu'il vérifie cette relation  maintenant vous savez que l'unique point qui vérifie \vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}   est le centre de gravité du triangle ABC et réciproquement

de rien et bonne soirée


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