Bonjour,

Je rencontre des difficultés pour un exercice de DM sur les "Vecteurs et parallélogramme". J'aimerais, si possible, que vous m'éclaireriez sur une question en particulier.

Voici l'énoncé :

Soit ABC un triangle non aplati.
On définit D et E tels que 2BE = AC (étant tous deux des vecteurs) et 2CD=AB (qui sont des vecteurs également), ainsi que I, milieu du segment [DE].
On se place dans le repère (A; AB (vecteur), AC (vecteur)).
On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l'exercice.

Questions :
1)Donner les coordonnés des points A, B et C.

---> Ma réponse :
A (0;0) origine du repère
B(1;0) point d'unité de l'abscisse du repère
C (0;1) point d'unité de l'ordonnée du repère

2) Calculer les coordonnées des points E et D et en déduire les coordonnées du point I.

---> Ma réponse

On calcule d'abord les coordonnés de D:
On sait que 2CD=AB (vecteurs)
Donc CD=AB/2 (vecteurs)

Calcul du vecteur AB:
Rappel formule:
AB= (xB-xA ; yB-yA)
AB= (1-0; 0-0) = (1;0)

CD= AB/2= (1/2; 0/2) = (0,5;0)

Coordonnées de D (système d'équation) :

CD (xD - 0 = 0,5 ; yD - 1 = 0)
Donc xD = 0,5 + 0 = 0,5 et yD= 0+1=1

D (0,5;1)

Ensuite on calcule les coordonnées de E:
2BE=AC (vecteurs)
Donc BE=AC/2

Calcul du vecteur AC:
AC= (0-0; 1-0) = (0;1)

BE=AC/2= (0/2 ; 1/2) = (0;0,5)

Coordonnées de E:

BE (xE - 1 =0 ; yE - 0 =0,5)
Donc xE = 0+1 =1
yE = 0,5 + 0 = 0,5

E (1;0,5)

Pour finir on peut calculer les coordonnées du point I:

xI= (0,5 +1)/2     yI= (1+0,5)/2
    = 1,5/2.                  =0,75
    =0,75
I (0,75;0,75)

3)Démontrer que les droites (BC) et (ED) sont parallèles.

Il suffit de montrer que les vecteurs BC et ED sont colinéaires:

Calcul des 2 vecteurs:

BC= (0-1; 1-0) = (-1;1)

ED= (0,5-1; 1-0,5) = (-0,5;0,5)

J'utilise la règle du produit en croix:

-1*0,5 = -0,5
1*(-0,5) = - 0,5

Ils sont donc colinéaires et (BC) et (ED) sont parallèles.

Jusque là pas trop de problème, c'est la question 4 qui m'embête:
4)Déterminer les coordonnées du point G vérifiant :
6GA- GB - GC = vecteur0 (tous vecteurs)

Mes recherches :

Je cherche à calculer xG:

6GA- GB - GC = 0
6GA + BG + CG = 0
6(0-xG) + (xG-1) + (xG-0) = 0
0 - 6xG + (xG-1) + (xG-0) = 0
xG-1+xG-0= 6xG
-1-0 = 6xG - xG - xG
-1 = 4xG

Je divise par 4 de chaque côté :
xG= -0,25

(J'ai fait pareil pour yG et j'ai trouvé aussi -0,25)

Je sais que je dois trouver +0,25 et non -0,25 car, à la question 5, je dois démontrer que GBIC est un parallélogramme, et il ne l'est que si G a pour coordonnées (0,25 ; 0,25).
Je ne trouve pas mon erreur après avoir relu et recommencé plusieurs fois, pourriez vous m'aider ?

Je vous remercie de votre attention,

Joba51