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vérification de réponses pour un DM sur le logarithme népérien
Salut !
J'ai un DM à faire pour Mardi et il y a une ou deux questions dont je ne suis pas certain de ma réponse et deux que je n'arrive pas du coup, j'aimerai si possible un petit coup de pouce !
ça concerne l'étude de la suite In=
1e(lnx)ndx
1) Par IPP, calculer I1
Donc celle ci je suis quasiment sûr de moi et je trouve I1=1
2) Démontrer par IPP que In+1=e-(n+1)In
Là j'ai trouvé ce qui était demandé, c'est bon
3) Déduire I2 et I3 en fonction de e
Je pense avoir bon mais dans le doute : Pour I2 on remplace n par 1 ?
donc
I2=e-2I1 ?
Si c'est ça j'ai également bon
4) Prouver la positivité de In et qu'elle est décroissante puis en déduire qu'elle converge
pour la positivité j'ai fait
lnx>0
(Lnx)n>0
1e(lnx)ndx>1e0dx Par conservation de l'ordre
et que donc In>0
je ne suis pas certain de cette démarche, c'est ici que j'aimerai une confirmation 
!
Et pour la décroissance je ne suis pas sûr non plus car je n'ai pas réussi In+1-In ni In+1/In
Donc j'ai fait a>b
lna>lnb par conservation de l'ordre avec ln
(lna)n>(lnb)n
1e(lna)ndx>1e(lnb)ndx par conservation de l'ordre
-(n+1)1e(lna)ndx<-(n+1)1e(lnb)ndx car -1<0
et +e change rien
donc comme l'ordre n'est pas conservé la suite est décroissante
mais comme je n'ai pas utilisé ça depuis longtemps je doute, et en plus j'ai fait ça avec In+1 et pas avec In, c'est correct ?
pour la convergence c'est juste appliquer le théorème puisqu'elle est décroissante et bornée par 0
5) démontrer que (n+1)In<e puis déduire la limite de In
j'ai fait la première partie mais je ne vois pas en quoi en déduire la limite !
6)Déterminer la valeur de nIn+(In+In+1) En déduire la limite de nIn
je n'ai pas encore trouvé mais je me concentre d'abord sur le reste !
voilà, j'espère que vous allez pouvoir m'aider !
à bientôt !
bonjour
pour calculer I2 on remplace n par 1
4. si f positive et a < b alors l'intégrale de a à b de f est positive.
lnx >= 0 pour x >= 1
pour la décroissance, ce qui est proposé est faux
Il faut calculer In+1 - In
5. encadre In par 0 et par une suite qui converge vers 0
4) D'accord c'était donc tout bête pour la positivité
pour la décroissance je n'ai pas réussi In+1 - In
e-(n+1)In - In
e-(n+1)1e(lnx)ndx-1e(lnx)ndx
et là je ne vois pas trop ce que je peut faire pour m'en sortir !
5) Par 1/x par exemple ?
Bonjour
pour la 5 c'est bon, e/(n+1) tend vers 0 et comme on sait qu'elle est décroissante et supérieure à 0 on peut utiliser le théorème des gendarmes
par contre je n'ai pas encore trouvé In+1-In j'ai essayé
1e(lnx)n*(lnx) dx - 1e(lnx)ndx
mais je tombe sur 0 en séparant la première intégration en deux (si j'ai le droit ?) et en sachant que la seconde partie fait 1 d'après la question 1
Désolé mais je crois que je ne cerne pas très bien ce que je dois faire !
D'accord et ensuite je dis que la fonction qui est dans l'intégrale est forcement négative ou égale à 0 sur cet intervalle car lnx-1 <ou=0 sur cet intervalle et que comme l'intégrale d'une fonction négative est négatif alors In+1-In <ou=0 donc In est décroissante ?
Je pense que j'ai bon ?
D'accord merci !
Et pour la 6 :
nIn+In+In+1= (n+1)In+e-(n+1)In=e
et pour sa limite comme la limite de In=0 et que celle de In+1 aussi, celle de nIn est la même que nIn+(In+In+1) donc lim nIn = e ?
Je pense que j'ai bon ici aussi mais je préfère être certain de mon résultat !
D'accord merci beaucoup !
Par contre j'ai un petit soucis avec la question hors barème sauf erreur de ma part :
Calculer les 30 premiers termes de (In) et commenter les résultats,
tout fonctionne bien jusqu'au rang 12, passé le 13 ème la suite se met à diverger et être une fois positive une fois négative !
C'est du aux erreurs de calcul d'excel ou c'est moi qui ai fait une erreur ? car sinon ça révoque à peut près toutes les questions faites au dessus !
à plus !
D'accord, j'ai essayé c'est bien la valeur d'excel (sur la calculatrice ça se met à faire n'importe quoi à partir de n=20)
mais en fait de la façon dont est posée la question je pense que justement la réponse attendue est "cela fonctionne jusqu'à l'entier n=12 puis à partir du 13ème l'erreur d'arrondi d'excel rend les résultats aberrants, en effet si on essaie avec la calculatrice on obtient de meilleurs résultats (jusqu'à=20 -ou peut être 18 faut que je vérifie-)
merci de ton aide !
à une prochaine !
encore merci, bonne soirée !
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