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Vérifier une égalité dans les suites

Posté par
PasMatheuse 03-03-18 à 18:59

Bonjour

J'aurais besoin d'aide pour continuer un exercice sur les suites :

(u_n) est une suite définie par u_0 = 2    et   pour tout entier naturel n, u_{n+1}= 3 - \frac{4}{u_n + 1} .

[...] 2. Vérifier que pour tout entier naturel n : u_{n+1} - u_n = - \frac{(u_n - 1)^2}{u_n + 1}

La question précédente consistait en la démonstration par récurrence que 1\leq u_n \leq 2. Pour l'initialisation de la récurrence, j'ai trouvé que u_1 = \frac{5}{3} et pour l'hérédité 1\leq u_{k+1} \leq \frac{5}{3}

Pour en revenir à la question 2, j'ai voulu faire une seconde récurrence. A l'initialisation, j'ai fait d'abord u_1 - u_0 = -\frac{1}{3}. Or, toujours pour l'initialisation, je veux montrer que P(0) est vraie et en utilisant l'égalité de la question, je trouve un résultat différent = -3.
Je pense m'être trompée dans les signes, du coup je n'ai pas continué l'hérédité.

J'ai ensuite essayé une autre méthode sans récurrence, en partant de la formule de l'énoncé et en y soustrayant u_n.
Je trouve : u_{n+1} - u_n = -\frac{-u_n^2 + 2u_n +7}{u_n + 1}

J'ai aussi essayé en partant de l'égalité de la question mais ne retombe pas sur la formule de l'énoncé.

Je ne sais pas si ce qui cloche est dans les erreurs de signes/calculs ou bien dans la méthode (voire dans les deux!)

Merci d'avance

Posté par
matheuxmatoure : Vérifier une égalité dans les suites 03-03-18 à 19:06

PasMatheuse @ 03-03-2018 à 18:59


J'ai ensuite essayé une autre méthode sans récurrence, en partant de la formule de l'énoncé et en y soustrayant u_n.
Je trouve : u_{n+1} - u_n = -\frac{-u_n^2 + 2u_n +7}{u_n + 1}


bonsoir
bonne idée mais tu t'es trompée dans le calcul

Posté par
heklare : Vérifier une égalité dans les suites 03-03-18 à 19:13

Bonsoir

pas besoin de récurrence  un simple calcul

u_{n+1}=3-\dfrac{4}{u_n+1}

u_{n+1}-u_n=3-\dfrac{4}{u_n+1}-u_n

u_{n+1}-u_n=\dfrac{3(u_n+1)-4-u_n(u_n+1)}{u_n+1}

en continuant on arrive au résultat demandé

Posté par
PasMatheusere : Vérifier une égalité dans les suites 03-03-18 à 19:38

Merci pour vos réponses, j'ai fait de nombreuses erreurs de signes et ai omis le 2 dans (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Finalement, je trouve :

u_{n+1} - u_n = \frac{-4 + 3u_n - u_n^2 + 3 - u_n}{u_n + 1} = \frac{-1 - u_n^2 + 2u_n}{u_n + 1} = -\frac{(u_n-1)^2}{u_n + 1}

Posté par
heklare : Vérifier une égalité dans les suites 03-03-18 à 19:45

bien

au  lieu de \frac écrivez plutôt \dfrac  ce sera plus lisible  vous pouvez comparer les deux

j'ai mis \dfrac pour écrire les fractions  

Posté par
PasMatheusere : Vérifier une égalité dans les suites 03-03-18 à 19:55

C'est vrai que ce sera plus lisible (désolée), merci

Posté par
heklare : Vérifier une égalité dans les suites 03-03-18 à 20:15

ce n'est pas bien grave  c'est déjà beau d'utiliser \LaTeX cela facilite bien la lecture des maths

bonne soirée


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