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Niveau Maths sup
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Vers les sous groupes distingués

Posté par
infophile 21-03-08 à 22:47

Bonsoir

Citation :
3$ \rm (G,.) groupe fini, 3$ \rm H un sous groupe de 3$ \rm G et 3$ \rm p le plus petit diviseur premier de 3$ \rm Card(G).

On suppose que 3$ \rm \frac{Card(G)}{Card(H)}=p. Soit 3$ \rm \mathcal{R} la relation définie sur 3$ \rm G par 3$ \rm xRy\Leftright x^{-1}y\in H


J'ai montré que 3$ \rm \mathcal{R} est une relation d'équivalence et que 3$ \rm Card(G/\mathcal{R})=p.

Soit 3$ \rm g\in G on définit 3$ \rm \varphi_g : G/R\to G/R\\\overline{x}\to \overline{gx}

Je dois montrer que 3$ \rm \forall (a,b)\in G^2, \varphi_{ab}=\varphi_a\circ \varphi_b

Soit 3$ \rm \overline{x}\in G/\mathcal{R} on a 3$ \rm \varphi_{ab}(\overline{x})=\overline{abx}

D'autre part 3$ \rm \varphi_a(\overline{x})=\overline{ax} et 3$ \rm \varphi_b(\overline{x})=\overline{bx}

Donc 3$ \rm \varphi_a\circ \varphi_b(\overline{x})=\overline{a\overline{bx}}=\overline{a\overline{b}\overline{x}}

Comment faire ensuite ? un indice ? Je vois mal comment prendre la classe d'une classe..

Merci

Posté par
romure : Vers les sous groupes distingués 21-03-08 à 22:56

Salut,


en admettant que \varphi soit bien définie (il faut le vérifier),

3$\varphi(a)\circ\varphi(b)(\overline{x}) = \varphi(a)(\varphi(b)(\overline{x})) = \varphi(a)(\overline{bx}) = \overline{a(bx)} = \overline{(ab)x} = \varphi_{ab}(\overline{x})

Posté par
romure : Vers les sous groupes distingués 21-03-08 à 23:00

Je rectifie les notations

3$%5Cvarphi_a%5Ccirc%5Cvarphi_b(%5Coverline{x})%20=%20%5Cvarphi_a(%5Cvarphi_b(%5Coverline{x}))%20=%20%5Cvarphi_a(%5Coverline{bx})%20=%20%5Coverline{a(bx)}%20=%20%5Coverline{(ab)x}%20=%20%5Cvarphi_{ab}(%5Coverline{x})

tu y étais presque, tu as mal compris ta fonction à partir du moment où tu parlais de classe de classe, alors que vu la définition de \varphi, il n'en est pas question.

Regarde si \varphi est bien définie, ce sera peut être plus clair.

Posté par
infophilere : Vers les sous groupes distingués 21-03-08 à 23:02

Bonsoir romu

Ah oui je suis bête j'ai fait apparaître des  3$ \rm \overline{\overline{x}} (ça n'a pas de sens comme notation si ?)

Je vais voir si elle est bien définie merci !

Ensuite je dois montrer que 3$ \rm \varphi est un morphisme de 3$ \rm (G,.) dans 3$ \rm (Bij(G/\mathcal{R}),\circ)

C'est quoi 3$ \rm Bij(G/\mathcal{R}) ?

Posté par
Nightmarere : Vers les sous groupes distingués 21-03-08 à 23:13

Salut Kevin

L'ensemble des permutations de G/R

Posté par
romure : Vers les sous groupes distingués 21-03-08 à 23:14

Si tu as une relation d'équivalence \mathcal{R}' sur G/\mathcal{R}, il vaudra mieux employer des notations différentes pour les classes suivant \mathcal{R}' afin d'éviter des confusions par rapport aux classes suivant \mathcal{R}.

\textrm{Bij}(G/\mathcal{R}) est l'ensemble des permutations de G/\mathcal{R}, muni de la loi \circ,

3$%20%5Crm%20(Bij(G/%5Cmathcal{R}),%5Ccirc) est un groupe, ce que tu dois déjà sûrement savoir.

Posté par
Nightmarere : Vers les sous groupes distingués 21-03-08 à 23:14

Qu'est-ce que phi? L'application qui à g associe 3$\rm \phi_{g} ?

Posté par
infophilere : Vers les sous groupes distingués 21-03-08 à 23:18

Salut Jord

Oui je suppose que c'est cette application.

L'ensemble des permutations de G/R.. ok mais on a jamais vu ça en cours

Posté par
Nightmarere : Vers les sous groupes distingués 21-03-08 à 23:20

Eh bien c'est ce que tu viens de montrer.

3$\rm \phi(ab)=\phi_{ab}=\phi_{a}o\phi_{b}
Reste à prouver que 3$\rm \phi_{g} est une permutation.

Posté par
infophilere : Vers les sous groupes distingués 21-03-08 à 23:23

Il suffit que je montre que c'est bijectif de X dans X donc ?

Posté par
Nightmarere : Vers les sous groupes distingués 21-03-08 à 23:27

de G/R dans G/R oui

Posté par
infophilere : Vers les sous groupes distingués 21-03-08 à 23:34

Oui pardon dans mon énoncé ils ont posés X=G/R.

Je montre l'injectivité :

Si 3$ \rm \varphi_g(\overline{x})=\varphi_g(\overline{y}) on a 3$ \rm \overline{gx}=\overline{gy}

Donc 3$ \rm gy\in \overline{gx} soit 3$ \rm (gx)\mathcal{R}(gy)\Leftright (gx)^{-1}(gy)\in H\Leftright x^{-1}(g^{-1}g)y\in H\Leftright x^{-1}y\in H\Leftright x\mathcal{R}y et donc 3$ \rm \overline{x}=\overline{y}

C'est juste ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Vers les sous groupes distingués 21-03-08 à 23:42

Salut

C'est bien ça Kévin ... Et puisque les deux ensembles (de départ et d'arrivée ont le même cardinal, on peut conclure !

Posté par
infophilere : Vers les sous groupes distingués 21-03-08 à 23:46

Salut momo

Ok donc ça c'est réglé

Au passage puisque j'ai procédé par équivalence on a montré que 3$ \rm \varphi est bien définie n'est-ce pas ?

Merci

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Vers les sous groupes distingués 21-03-08 à 23:53

oui je pense aussi !

Posté par
infophilere : Vers les sous groupes distingués 21-03-08 à 23:57

Ensuite je dois montrer que 3$ \rm Card(Im\varphi) divise 3$ \rm p!

Je serais tenté de dire simplement que 3$ \rm Im\varphi\subset G/\mathcal{R} donc 3$ \rm Card(Im\varphi)\le Card(G/\mathcal{R})=p soit 3$ \rm Card(Im\varphi)\in \mathbb{[}1,p\mathbb{]} et donc 3$ \rm Card(Im\varphi)|p!.

Right ?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Vers les sous groupes distingués 22-03-08 à 00:02

comment t'as fait pour le dernier passage?

Posté par
infophilere : Vers les sous groupes distingués 22-03-08 à 00:07

Le dernier "donc" ?

Euh 3$ \rm Card(Im\varphi) est un entier inférieur à 3$ \rm p et 3$ \rm p!=p\times (p-1)\times \cdots \times 2\times 1 donc il divise au moins un des facteurs (il y est même égal).

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Vers les sous groupes distingués 22-03-08 à 00:12

euh oui !

moi je dirai que Im(phi) est un sous groupe de Bij(G/R,o) puis j'utiliserai le théorème de lagrange. (car le cardinal du groupe des permutation ou groupe symétrique est p!)

(Attention aux bêtises que je peux dire à cette heure là )

Posté par
infophilere : Vers les sous groupes distingués 22-03-08 à 00:16

Ah oui c'est plus classe comme démo merci momo

Mais mon explication tient la route quand même ?

Prochaine étape : Montrer que 3$ \rm Ker(\varphi)\subset H

Je vais y réfléchir

Posté par
infophilere : Vers les sous groupes distingués 22-03-08 à 00:34

Bon j'ai commencé :

Soit 3$ \rm \overline{x}\in Ker(\varphi) on a 3$ \rm \varphi_g(\overline{x})=\overline{gx}=\overline{1}

Donc 3$ \rm 1\in \overline{gx} soit 3$ \rm (gx)\mathcal{R}(1)\Leftright (gx)^{-1}\in H\Leftright x^{-1}g^{-1}\in H\Leftright x\mathcal{R}g^{-1}

Je ne pense pas pouvoir conclure tout de suite.. je cherche.

Posté par
infophilere : Vers les sous groupes distingués 22-03-08 à 02:04

Je continuerai demain, merci !

Posté par
1 Schumi 1re : Vers les sous groupes distingués 22-03-08 à 11:04

Salut tout le monde,

Vieux >> Oui comme tu l'as bien remarqué: gx R 1. Bon, ben reste plus qu'à remarquer que g R g^(-1).
Donc...

Posté par
1 Schumi 1re : Vers les sous groupes distingués 22-03-08 à 11:26

Je retire ce que j'ai dit de suite.

Posté par
1 Schumi 1re : Vers les sous groupes distingués 22-03-08 à 12:01

Ya un problème il me semble.

Regarde: On \bar{gx}=\bar{1}. Mais la classe de 1 ce sont les éléments de H!!!
Donc on a gx\in H.
Le problème c'est que si g n'est pas dans H ben x n'est certainement pas dans H non plus.

Posté par
infophilere : Vers les sous groupes distingués 22-03-08 à 12:27

Salut vieux

Oui j'a

Posté par
infophilere : Vers les sous groupes distingués 22-03-08 à 12:27

zut, j'a

Posté par
infophilere : Vers les sous groupes distingués 22-03-08 à 12:28

j'ai eu le même problème ! il doit y avoir une astuce

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Vers les sous groupes distingués 22-03-08 à 12:31

Une question se pose alors ! T'es sûr de ton énoncé Kév ?

Posté par
infophilere : Vers les sous groupes distingués 22-03-08 à 12:31

ou bien c'est une erreur d'énoncé

Posté par
infophilere : Vers les sous groupes distingués 22-03-08 à 12:33

salut momo

c'est ce qui est écrit, dans le doute j'peux envoyer un mail à ma prof

Posté par
1 Schumi 1re : Vers les sous groupes distingués 22-03-08 à 12:37

Soit j'ai pas compris l'exo, soit il y a une erreur d'énoncé.

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Vers les sous groupes distingués 22-03-08 à 12:54

de même

sinon, demande à ton prof Kév pour être plus sûr

Posté par
1 Schumi 1re : Vers les sous groupes distingués 22-03-08 à 13:06

C'est moi le prof.

Posté par
infophilere : Vers les sous groupes distingués 22-03-08 à 19:07

Bonsoir

En attendant je passe à la question suivante :

Citation :
Montrer que 3$ \rm Card(G)=Card(Ker\varphi)\times Card(Im\varphi)

(On peut utiliser la relation 3$ \rm \mathcal{R}' définie sur 3$ \rm G par : 3$ \rm x\mathcal{R}'y\Leftright x^{-1}y\in Ker\varphi)


3$ \rm \overline{gx}=\{y\in G, (gx)^{-1}y\in Ker\varphi\}=\{y\in G, (gx)^{-1}y=h, h\in Ker\varphi\}=\{(gx)h, h\in Ker\varphi\}

L'application 3$ \rm F: Ker\varphi \to \overline{gx}\\h\to (gx)h est bijective car c'est une translation.

Donc 3$ \rm Card(Ker\varphi)=Card(\overline{gx}) et par ailleurs 3$ \rm G=\bigcup_{\overline{gx}\in Im\varphi} (union disjointe).

D'où 3$ \rm Card(G)=\Bigsum_{\overline{gx}\in Im\varphi}Card(\overline{gx})=\Bigsum_{\overline{gx}\in Im\varphi}Card(Ker\varphi)=Card(Im\varphi).Card(Ker\varphi)

Je suis pratiquement sûr que c'est faux mais j'attend votre avis

Posté par
infophilere : Vers les sous groupes distingués 22-03-08 à 22:10

Up si quelqu'un peut vérifier

Posté par
romure : Vers les sous groupes distingués 22-03-08 à 22:24

salut kevin, tu peux me rappeler ce qu'est \varphi? Je ne comprends pas pourquoi \overline{gx}\in \textrm{Im} \varphi ?

Posté par
infophilere : Vers les sous groupes distingués 22-03-08 à 22:32

Salut romu

3$ \rm \varphi est l'application qui à un élément 3$ \rm g\in G associe 3$ \rm \varphi_g

C'est faux ce que j'ai fait n'est-ce pas ?

Posté par
romure : Vers les sous groupes distingués 22-03-08 à 22:34

Pas tant que ça l'idée est là, c'est surtout que tu as un peu alourdi les notations je pense

J'aurais dit \overline{gx}\in G/\mathcal{R}' plutôt, et ensuite fait appel à la factorisation canonique d'une application pour dire que G/\mathcal{R}' et \textrm{Im} \varphi sont équipotent.

Tu n'es pas obliger de trimbaler gx tout au long de la preuve, x suffit.

Posté par
romure : Vers les sous groupes distingués 22-03-08 à 22:42

En notation sympa et courante, on a

3$%20%5Crm%20x%5Cmathcal{R}'y%5CLeftright%20x^{-1}y%5Cin%20Ker%5Cvarphi\Leftrightarrow y\in x\textrm{Ker} \varphi,

avec 3$x\textrm{Ker} \varphi=\{xk:\ k\in \textrm{Ker} \varphi\},

et alors 3$\overline{x}=x\textrm{Ker} \varphi.

Posté par
infophilere : Vers les sous groupes distingués 22-03-08 à 23:29

Je m'emmèle les pinceaux avec ces notations

Je sais que l'application qui à chaque élément associe sa classe d'équivalence est surjective, je sais pas si ça va me servir.

Et pour montrer que ces ensembles sont équipotents je définis une application de l'un dans l'autre ?

Merci !

Posté par
romure : Vers les sous groupes distingués 23-03-08 à 00:18

non mais tu as quasiment tout fait. En fait la propriété que tu dois montrer (ton message à 19:07) est vraie pour tout morphisme de groupes défini sur G (du moment que G est fini).

Je calque une démo sur la tienne:

En continuant ce que j'ai dit à mon dernier post:

on sait donc que 3$G/\mathcal{R}' = \{\overline{x}:\ x\in G\} = \{x\textrm{Ker} \varphi\ :\ x\in G}

Pour tout x\in G, l'application translation y\rightarrow xy est évidemment une bijection de \textrm{Ker} \varphi sur x\textrm{Ker}\varphi,

donc 3$%20%5Crm%20Card(Ker%5Cvarphi)=Card(x\textrm{Ker} \varphi).

Par ailleurs G/\mathcal{R}' est une partition de G,

d'où

3$\textrm{Card}(G) = \Bigsum_{a\in G/\mathcal{R}'} \textrm{Card}(a) = \Bigsum_{a\in G/\mathcal{R}'} \textrm{Card} (\textrm{Ker} \varphi) = \textrm{Card} (G/\mathcal{R}'). \textrm{Card} (\textrm{Ker} \varphi).

Du fait que \varphi soit un morphisme, on a les:

3$\varphi(y) = \varphi(x)\ \Leftrightarrow\ \varphi(x^{-1}y)= e_G\ \Leftrightarrow\ x^{-1}y\in \textrm{Ker} \varphi\ \Leftrightarrow\ x\mathcal{R}'y,

D'après le théorème de la décomposition canonique d'une application, appliqué à \varphi,

on a une bijection entre  G/\mathcal{R}' et \textrm{Im} \varphi (= \varphi(G)). Donc \textrm{Card} (G/\mathcal{R}') = \textrm{Card} (\textrm{Im} \varphi), et on a bien:

3$\textrm{Card}(G)= \textrm{Card} (\textrm{Im} \varphi). \textrm{Card} (\textrm{Ker} \varphi).

Posté par
infophilere : Vers les sous groupes distingués 23-03-08 à 00:42

Merci beaucoup Romu

Mais c'est quoi ce théorème de décomposition canonique ? C'était la pièce manquant à ma démo.

Posté par
romure : Vers les sous groupes distingués 23-03-08 à 01:13

Pour une application f:X\rightarrow Y,

la relation f(x)=f(y) est une relation d'équivalence \mathcal{R} dans X.

En notant s la surjection canonique de X sur X/\mathcal{R} qui à tout élément associe sa classe d'aquivalence suivant \mathcal{R} et l'application identique i de f(X) dans Y qui est injective.

i) Il existe alors une unique application \overline{f} de X/\mathcal{R} telle que f=i\circ\overline{f}\circ s;

ii) l'application \overline{f} est bijective;

iii) Si u est un élément de X/\mathcal{R}, son image par \overline{f} s'obtient en choisissant un représentant quelconque de u et en prenant son image par f.


4$\array{rccclBCB$&X&\longr[75]^{{-1$f}}&Y\\3$s&\longd[50]&&\longu[50]&3$i\\&X/\mathcal{R}&\longr[75]_{\overline{f}}^{\sim}&f(X)}

Posté par
infophilere : Vers les sous groupes distingués 23-03-08 à 01:26

Dis donc tu gères en \LaTeX !

Tu saurais où je peux trouver les démos de ces 3 points ?

Encore merci

Posté par
romure : Vers les sous groupes distingués 23-03-08 à 01:37

C'est bizarre que tu ne l'aies pas vu dans un cours sur les relations d'équivalence.

Tu peux le montrer, c'est pas si dur.

Tu montres que \overline{f} définie par la propriété iii) est bien définie comme application, ensuite tu montres l'unicité, tu auras alors montré i) et iii). Il te reste alors à prouver ii).

pour le latex j'ai juste copié/collé le diagramme donné dans l'aide ( [lien])

Posté par
infophilere : Vers les sous groupes distingués 23-03-08 à 01:46

D'accord j'essaierai de prouver ces trois choses

Mais avant je vais m'attaquer à la dernière question :

Citation :
Montrer que pour tout 3$ \rm x^{-1}Hx=H.


Avant de commencer j'aimerai comprendre la notation ?

Merci !

Posté par
romure : Vers les sous groupes distingués 23-03-08 à 01:51

c'est plutôt:  "pour tout x\in G, x^{-1}Hx=H".

Si un sous-groupe H de G possède cette propriété, on dit qu'il est distingué (ou normal) dans G.

3$x^{-1}Hx=\{x^{-1}yx:\ y\in H\}

Posté par
infophilere : Vers les sous groupes distingués 23-03-08 à 01:54

Oui j'ai oublié une partie désolé !

Ok donc je dois montrer l'égalité de deux ensembles, la double inclusion semble s'imposer

Posté par
infophilere : Vers les sous groupes distingués 23-03-08 à 01:55

Le sens H\subset x^{-1}Hx est évident en prenant x=e.

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