bonjour,
voilà ma prof nous a donné un travaux dirigé pour les vacances mais je n'y arrive pas !
je suis un peu perdu voila l'énoncé :
(O;OI;OJ:OK) est un repère orthonormal de l'espace.
S est la sphère de centre O et de rayon R (R>0).Pour tout réel z tel que -R<z<R, le plan P parrallèle à (OIJ) de cote z coupe la sphère S suivant le cercle C.
a) Calculer l'aire A(z) du cercle C en fonction de R et z.
b) Le volume V de la sphère S est donné par l'intégrale V=-RRA(z)dz.
Démontrer en calculant cette intégrale que V=(4/3)R3
Je bloque déjà à la première question avec l'aire car l'aire du cercle => r² mais ici on a pas r et je n'arrive pas à le trouver !
merci d'avance
j'ai fait un dessin mais je ne comprends pas comment tu trouve ce résultat regarde l"image je vais te mettre le schéma que j'ai réalisé
Mais R est le rayon de la sphère : sur ton dessin tu le vois qui va de l'origine à l'extrémité droite de ton petit rayon r, donc R est l'hypothénuse d'un triangle rectangle !
donc A(z)=r²
A(z)=(R²-z²)
ainsi j'ai bien calculer l'aire A(z)
pour la deuxième question il suffit de faire l'intégrale de l'aire du cercle ?
donc -RR
(R²-z²)dz
et là je peux sortir le normalement avec les propriétés des intégrales ?
-RR(R²-z²)dz
est-ce que j'ai bon jusque là ?
mais après je sais pas trop quoi faire ...
Salut,
Tu as bien , mais attention au commentaire : ce n'est pas "l'intégrale de l'aire du cercle"; tu dois voir A(z)dz comme le volume d'une petite tranche de sphère, de section A(z) et d'épaisseur dz; et l'intégrale est la somme de ces volumes !
Maintenant, pour le calcul : une primitive de (R2-z2) est
(R2z - z3/3).
A toi !
bonjour,
désolé je reviens aujourd'hui seulement merci de m'avoir répondu PIL, donc si j'ai bien compris on a :
V=A(z)dz
donc:
V=(R²-z²)dz
je doit trouver la primitive donc R² est un nombre constant donc on lui rajoute z et z² on obtient z² donne z3
on a donc V=[(R²z-
)]
d'où V=(R3-
)-(
(-R3+
et si je calcule je trouve :
V=()
R3
merci beaucoup PIL pour ton aide !!
bonne journée à tout le monde
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