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volume d'une sphère intégration et dérivation

Posté par
thefireboss80
05-04-10 à 14:18

bonjour,
voilà ma prof nous a donné un travaux dirigé pour les vacances mais je n'y arrive pas !
je suis un peu perdu voila l'énoncé :

(O;OI;OJ:OK) est un repère orthonormal de l'espace.
S est la sphère de centre O et de rayon R (R>0).Pour tout réel z tel que -R<z<R, le plan P parrallèle à (OIJ) de cote z coupe la sphère S suivant le cercle C.
a) Calculer l'aire A(z) du cercle C en fonction de R et z.
b) Le volume V de la sphère S est donné par l'intégrale V=-RRA(z)dz.
Démontrer en calculant cette intégrale que V=(4/3)R3

Je bloque déjà à la première question avec l'aire car l'aire du cercle => r² mais ici on a pas r et je n'arrive pas à le trouver !

merci d'avance

Posté par
PIL
re : volume d'une sphère intégration et dérivation 05-04-10 à 14:40

Bonjour,

Dessine ! Tu vois que  z2 + r2 = R2.

Posté par
thefireboss80
re : volume d'une sphère intégration et dérivation 05-04-10 à 15:00

j'ai fait un dessin mais je ne comprends pas comment tu trouve ce résultat regarde l"image je vais te mettre le schéma que j'ai réalisé

volume d\'une sphère intégration et dérivation

Posté par
thefireboss80
re : volume d'une sphère intégration et dérivation 05-04-10 à 15:01

voila mon schéma il me semble correct mais je me suis peut-être trompé

volume d\'une sphère intégration et dérivation

Posté par
PIL
re : volume d'une sphère intégration et dérivation 05-04-10 à 15:41

Mais R est le rayon de la sphère : sur ton dessin tu le vois qui va de l'origine à l'extrémité droite de ton petit rayon r, donc R est l'hypothénuse d'un triangle rectangle !

Posté par
thefireboss80
re : volume d'une sphère intégration et dérivation 05-04-10 à 15:51

ah oui ! je suis vraiment nul ! ^^ merci
je continue et je vous dis quoi après

Posté par
thefireboss80
re : volume d'une sphère intégration et dérivation 05-04-10 à 16:26

donc A(z)=
     A(z)=(R²-z²)
ainsi j'ai bien calculer l'aire A(z)  

pour la deuxième question il suffit de faire l'intégrale de l'aire du cercle ?
donc -RR(R²-z²)dz
et là je peux sortir le normalement avec les propriétés des intégrales ?
     -RR(R²-z²)dz
est-ce que j'ai bon jusque là ?
mais après je sais pas trop quoi faire ...

Posté par
thefireboss80
re : volume d'une sphère intégration et dérivation 05-04-10 à 16:37

\int_1^{10}

Posté par
thefireboss80
re : volume d'une sphère intégration et dérivation 05-04-10 à 16:38

désolé erreur de manipulation

Posté par
thefireboss80
re : volume d'une sphère intégration et dérivation 05-04-10 à 20:00

est-ce que quelqu'un peut m'aider ?
je n'y arrive pas

Posté par
PIL
re : volume d'une sphère intégration et dérivation 05-04-10 à 21:00

Salut,

Tu as bien  2$\rm V = \int_{-R}^R \pi(R^2 - z^2) dz  , mais attention au commentaire : ce n'est pas "l'intégrale de l'aire du cercle"; tu dois voir  A(z)dz  comme le volume d'une petite tranche de sphère, de section A(z) et d'épaisseur dz; et l'intégrale est la somme de ces volumes !

Maintenant, pour le calcul  : une primitive de  (R2-z2)  est   (R2z - z3/3).

A toi !

Posté par
thefireboss80
re : volume d'une sphère intégration et dérivation 06-04-10 à 10:22

bonjour,
désolé je reviens aujourd'hui seulement merci de m'avoir répondu PIL, donc si j'ai bien compris on a :
V=\int_{-R}^{R}A(z)dz
donc:
V=\int_{-R}^{R}(R²-z²)dz
je doit trouver la primitive donc R² est un nombre constant donc on lui rajoute z et z² on obtient z² donne \frac{1}{3} z3
on a donc V=[(R²z-\frac{z^3}{3})]_{-R}^{R}
d'où V=(R3-\frac{R^3}{3})-((-R3+\frac{R^3}{3}))
et si je calcule je trouve :
V=(\frac{4}{3})R3

merci beaucoup PIL pour ton aide !!

bonne journée à tout le monde



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