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Posté par Julye (invité) 15-07-05 à 18:55

bonjour a toutes et tous

je pense avoir resolu l'exercice dont vous pourrez trouver l'enonce ci-dessous
pourriez-vous me corriger et aussi m'indiquer des pistes pour une autre solution

enonce :
montrer que, pour tout entier naturel n\geq3, l'un des nombres 2^n-1, 2^n+1 n'est pas premier (on pourra raisonner modulo un entier bien choisi)

ce que j'ai fait avec mes etapes de raisonnements :
d'apres l'indication, il faudrait pouvoir trouver un entier (meme un nombre premier d'ailleurs) qui divise 2^n-1 et/ou 2^n+1
si on arrive a trouver un nombre premier qui diviserait le produit (2^n-1)(2^n+1) alors ce serait gagne
je calcule :
(2^n-1)(2^n+1)=2^{2n}+2^n-2^n-1=4^n-1
bon, pour annuler ca, on prend le tout modulo 3 :
4^n-1=0 (mod 3)
comme 3 est premier alors il divise soit 2^n-1 soit 2^n+1
ce qui termine l'exercice

merci d'avance pour vos remarques

Posté par
Nightmarere : votre avis 15-07-05 à 19:01

Bonjour

Ca m'a l'air bon.

Par contre au niveau de la rédaction ... "bon, pour annuler ca, on prend le tout modulo :"

Aussi , lorsque tu développes, utilises une identité remarquable, c'est mieux sur une copie


Jord

Posté par Julye (invité)re : votre avis 15-07-05 à 19:14

merci pour ces remarques Nightmare ... mais (il y a toujours un "mais" quelque part) je n'utilise que tres peu les identites remarquables ... parce que, par exemple,
    a^2-b^2 n'est pas toujours egal a (a-b)(a+b)
(il faut que a et b commutent pour que ca marche)
la raison c'est surtout je prefere retenir un minimum de choses

aussi, pour ce qui est de la redaction, peu importe, c'est le contenu qui prevaut

aurais-tu, par contre, une autre solution ?

merci par avance

Posté par jean-émile (invité)re : votre avis 15-07-05 à 19:31

Salut

2^n -1 , 2^n et 2^n + 1 sont trois entiers naturels consécutifs

L'un des 3 est évidemment divisible par 3

0r 2^n n'est pas divisible par 3

Donc 2^n -1 ou 2^n + 1 est divisible par 3


Julye , ta solution est bien

jean-émile

Posté par
ottore : votre avis 15-07-05 à 19:35

il faut que a et b commutent pour que ca marche
C'est vrai, mais ici on est dans Z/3Z qui est un corps fini, donc commutatif.
Donc finalement pas de problème.
A+

Posté par
Nightmarere : votre avis 15-07-05 à 19:36

Hum , sans conviction :

On notant A et B les assertions telles que :
3$\rm A : 2^{n}-1 est premier
3$\rm B : 2^{n}+1 est premier
avec 3$\rm n\ge 3
On veut démontrer :
3$\rm (non(A) ou non(B))
cela revient à démontrer :
3$\rm non(A ou B)

Il suffit alors de démontrer qu'il est impossible que quelque soit 3$\rm n\ge 3 , 3$\rm 2^{n}-1 et 3$\rm 2^{n}+1 soient tout les deux premiers.

Il suffit de prendre n=4


Jord

Posté par Julye (invité)re : votre avis 15-07-05 à 19:38

ah oui, pas mal jean-émile !

dans le livre, l'auteur propose la solution suivante :
l'entier 2 est congru a -1 modulo 3;
donc 2^n-1=(-1)^n-1\;({\rm mod}3) et 2^n+1=(-1)^n+1\;({\rm mod}3). Ainsi si n est pair, 2^n-1 est divisible par 3 et n'est donc pas premier; si n est impair, 2^n+1 est divisible par 3 et n'est donc pas premier.

merci

s'il y a encore d'autres propositions ... ne pas hesiter

Posté par Julye (invité)re : votre avis 15-07-05 à 19:41

non(A ou B)\equiv(non A) ET (non B)

non ?

Posté par majid52 (invité)re : votre avis 15-07-05 à 19:50

bonjour à tous;on peut aussi voir que 2^n\equiv(-1)^n [3] et donc que 2^n\pm\ 1\equiv(-1)^n\pm\ 1 [3]
ce qui veut dire que 3/(2^n-1) si n pair et 3/(2^n+1) si n impair

Posté par Julye (invité)re : votre avis 15-07-05 à 20:01

c'est formidable toutes ces solutions !

merci bien a vous tou(te)s

Posté par
Nightmarere : votre avis 15-07-05 à 20:06

Oui Julye autant pour moi une faute d'étourderie mais la suite de la démonstration est basée sur non A ET non B donc pas de probléme



Jord


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