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vrai ou faux

Posté par
lauracrtg
24-11-21 à 14:13

Bonjour, je suis boquée sur un exercice, je sais habituellement faire ce type d'exercice mais ici la fonction n'est pas définie donc comment faire ?

Voici l'exercice :

L'affirmation suivant est-elle vraie ou fausse ? Justifier avec soin votre raisonnement

Soit g la fonction définie sur l'intervalle [0;1] telle que :
* la fonction g est dérivable et strictement décroissante sur [0;1]
* on a g(0) = 10

Soit f la fonction définie sur [0;1] par f(x) = eg(x)
Alors l'équation f(x) = 6 admet une unique solution sur [0;1]


Merci d'avance pour votre aide  

Posté par
hekla
re : vrai ou faux 24-11-21 à 14:22

Bonjour

Que vaut g(1) ?

Posté par
lake
re : vrai ou faux 24-11-21 à 14:25

Bonjour,

  e^{g(x)}=6\Longleftrightarrow g(x)=\ln\,6

g définie sur [0,1] par g(x)=10-x vérifie bien les conditions de l'énoncé.

Qu'en penser ?

Posté par
lake
re : vrai ou faux 24-11-21 à 14:26

Bonjour hekla; je te laisse poursuivre.

Posté par
hekla
re : vrai ou faux 24-11-21 à 14:30

Bonjour lake

Je ne comprends pas votre réponse

g(x)=\ln 6  suppose g constante or, elle est strictement décroissante

Posté par
lake
re : vrai ou faux 24-11-21 à 14:35

g(x)=10-x (c'est moi qui ai choisi cette fonction).

L'équation e^{g(x)}=6 est équivalente à l'équation g(x)=\ln\,6

Soit 10-x=\ln\,6

Sur  [0,1], pas de solutions.

Non ?

Posté par
hekla
re : vrai ou faux 24-11-21 à 14:39

Dans ce cas f est constante,  or la composée d'une fonction strictement croissante et d'une fonction strictement décroissante est strictement décroissante. D'où mon interrogation.

Posté par
lake
re : vrai ou faux 24-11-21 à 14:46

Je crois que tu ne saisis pas ce que j'ai voulu suggérer.
L'assertion est fausse : pour le prouver, j'ai choisi un contrexemple avec la fonction g définie sur [0,1] par g(x)=10-x

g est bien strictement décroissante sur [0,1] et g(0)=10

mais l'équation f(x)=6\Longleftrightarrow e^{g(x)}=6 n'a pas de solution sur [0,1]
 \\

Posté par
hekla
re : vrai ou faux 24-11-21 à 15:01

Je pense aussi que l'affirmation est fausse pour tout g. Il est possible de trouver une fonction g strictement décroissante, continue (?)   telle que g(x)=10 et g(1) = 2

Je pensais que vous définissiez f par f(x)=6

Posté par
lake
re : vrai ou faux 24-11-21 à 15:29

Oui, une assertion comme celle ci n'est pas à moitié vraie ou à moitié fausse.
Avec ne serait-ce qu'un seul contrexemple, elle est complétement, totalement (choisis l'adverbe que tu veux) fausse !

Posté par
lauracrtg
re : vrai ou faux 24-11-21 à 15:31

je ne comprend pas comment vous trouvez g(1) = 2

Posté par
carpediem
re : vrai ou faux 24-11-21 à 15:36

salut

l'affirmation exacte est :

si l'équation f(x) = 6 admet (au moins) une solution alors cette solution est unique

Posté par
hekla
re : vrai ou faux 24-11-21 à 15:39

Ce n'était qu'une hypothèse

si la fonction g est telle alors il existe un unique réel tel que f(x)=6

Le texte est mal écrit, on met un article défini « la »   alors que g n'est absolument pas définie.

Si c'est n'importe quelle fonction  g alors c'est faux

Posté par
lauracrtg
re : vrai ou faux 24-11-21 à 15:39

carpediem

carpediem @ 24-11-2021 à 15:36

l'affirmation exacte est :

si l'équation f(x) = 6 admet (au moins) une solution alors cette solution est unique



je ne comprend pas, avoir "au moins une solution" et une "unique solution" n'est pasla même chose ?

Posté par
lauracrtg
re : vrai ou faux 24-11-21 à 15:41

lake @ 24-11-2021 à 14:25

Bonjour,

  e^{g(x)}=6\Longleftrightarrow g(x)=\ln\,6

g définie sur [0,1] par g(x)=10-x vérifie bien les conditions de l'énoncé.

Qu'en penser ?


en revanche, je n'ai pas encore vu ln en cours de maths donc je pense qu'il y a une autre réponse possible

Posté par
lake
re : vrai ou faux 24-11-21 à 15:41

Merci carpediem,

Du coup, ce sujet déjà un peu obscurci devient beaucoup plus clair

Posté par
lake
re : vrai ou faux 24-11-21 à 19:21

>>lauracrtg :

Tu ne connais pas la fonction logarithme soit.

Avec g(x)=10-x sur [0,1]g est bien :

  - dérivable sur [0,1]

  - strictement décroissante sur [0,1]

  - telle que g(0)=10

  f(x)=e^{g(x)}=e^{10-x}

  -  f est continue et strictement décroissante sur [0,1]

  - f(0)=e^{10} et f(1)=e^9 (à éventuellement évaluer avec une calculette).

Écrit le tableau de variation de f.

Sur [0,1], f(x) passe-t-elle par la valeur 6 ?

Conclusion ?

Posté par
lauracrtg
re : vrai ou faux 24-11-21 à 21:11

Pour remplir le tableau de variation, j'ai calculé les images de 0 et 1 ce qui fait :
f(0) = 22026.5
f(1) = 8103.1

Sur [0;1], f(x) ne passe pas par la valeur 6; donc l'affirmation est fausse.

Posté par
lake
re : vrai ou faux 24-11-21 à 21:17

Voilà.
Un seul contrexemple permet d'affirmer que ton assertion est fausse.

Posté par
PLSVU
re : vrai ou faux 25-11-21 à 11:34

Bonjour,
Soit f la fonction définie sur [0;1] par f(x) = eg(x)
g(x) doit  appartenir [0,1]
or f(x)=6      implique g(x) =ln6  implique x>1

Posté par
PLSVU
re : vrai ou faux 25-11-21 à 11:51

  sans ln
e^0=1  et e^1<6



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