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Exercice - Matrices


maths supExercice - Matrices

#msg1091725#msg1091725 Posté le 29-04-07 à 11:53
Posté par Profilpuisea puisea Posteur d'énigmes

Bonjour,

j'ai des difficultés à comprendre les concepts fondamentaux des matrices : l'utilisation d'applications linéaires, les liens avec noyaux, bases, images, ... Un seul remède : des exercices.

En voici un premier d'une longue série :

1. Expliquer brièvement pourquoi une matrice qui n'est pas carrée ne peut pas être inversible.

>> Une matrice A a pour inverse la matrice A' si et seulement si \Large AA'=A'A=I

Or la multiplication matricielle ne peut se faire que si le nombre de colonne de la première est égal au nombre de lignes de la deuxième. Il est donc nécessaire d'avoir une matrice carrée. Donc seules les matrices carrées sont inversibles.

2. Soit \Large{A\in\mathfrak{M}_n(\mathbb{K})}. On suppose qu'il existe une matrice \Large{B\in\mathfrak{M}_n(\mathbb{K})} telle que \Large AB=I_n. Démontrer que A est inversible

>> Alors ici il faut montrer : AB = BA.

Soit E, un espace vectoriel de dimension n sur \Large\mathbb{K}, muni d'une base \Large\scr{B}. Alors il existe f et g dans L(E) tels que :

\Large\{{A=Mat_{\scr{B}}(f)\\B=Mat_{\scr{B}}(g)}

Donc \Large I_n = Mat_{\scr{B}}(fog) = Mat_{\scr{B}}(I_E) donc \Large fog=I_E

Donc f est surjective et g est injective. D'après le théorème du rang, f et g sont bijectives, donc inversibles dans L(E) et \Large g=f^{-1}. Donc A et B sont inversibles dans \Large{\mathfrak{M}_n(\mathbb{K})} et \Large B=A^{-1}

3. On considère la matrice :

\Large\rm A=\[{1 2 -3\\2 1 -2}\]

3.a. Démontrer l'existence d'une matrice B telle que le produit AB soit égal à la matrice identité.

3.b. Existe-t-il une matrice C telle que le produit CA soit égal à la matrice identité ?


Besoin d'un peu d'aide sur les deux dernières questions.

Merci.
re : Exercice - Matrices#msg1091757#msg1091757 Posté le 29-04-07 à 12:03
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Salut puisea

Pour la 1) et la 2), c'est OK !
Pour la 3), si AB ou CA vaut l'identité, que dire dans les deux cas de l'application linéaire associée ?

Kaiser
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re : Exercice - Matrices#msg1091762#msg1091762 Posté le 29-04-07 à 12:05
Posté par ProfilRouliane Rouliane

Bonjour,

Je m'incruste 2 secondes : comment on en déduit "Donc f est surjective et g est injective" dans la question 2.
re : Exercice - Matrices#msg1091768#msg1091768 Posté le 29-04-07 à 12:07
Posté par Profilpuisea puisea Posteur d'énigmes

Salut Kaiser, je réfléchis

Salut Rouliane,

L'identité est bijective. Or si la composée de deux applications est injective la deuxième application est injective. Et si la composée de deux applications est surjective, la première application est surjective.
re : Exercice - Matrices#msg1091770#msg1091770 Posté le 29-04-07 à 12:07
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Rouliane > car fog=Id

en effet, cela montre que fog est injective donc g aussi et que fog est surjective donc f aussi.

Kaiser
re : Exercice - Matrices#msg1091774#msg1091774 Posté le 29-04-07 à 12:10
Posté par ProfilRouliane Rouliane

ah oui bien sur merci à vous 2 !
re : Exercice - Matrices#msg1091777#msg1091777 Posté le 29-04-07 à 12:12
Posté par Profilpuisea puisea Posteur d'énigmes

Pour répondre à Kaiser : et bien on peut en dire tout ce qui a été dit dans la réponse à la question 2, non ?
Exercice - Matrices#msg1091783#msg1091783 Posté le 29-04-07 à 12:15
Posté par Profilraymond raymond Correcteur

Bonjour.

1°) A € M(n,p) n et p distincts signifie :
A représente une application linéaire f : Kp Kn.
Deux espaces vectoriels ne sont isomorphes que si leurs dimensions sont égales, donc A ne peut pas être inversible.

2°) AB = I, A et B carrées d'ordre n.
Si B n'était pas inversible, son noyau serait non réduit à {0}.
Il existerait donc un vecteur X non nul tel que BX = 0.
Alors ABX = X => 0 = X : faux.
Donc B est inversible : B-1 son inverse. AB = I => ABB-1 = B-1 => A = B-1.

3°) Je regarde une solution pas trop longue ...

A plus RR.
re : Exercice - Matrices#msg1091817#msg1091817 Posté le 29-04-07 à 12:31
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

puisea > oui, alors peut-on avoir CA=Id ?

Kaiser
re : Exercice - Matrices#msg1091892#msg1091892 Posté le 29-04-07 à 13:00
Posté par Profilpuisea puisea Posteur d'énigmes

Me re voila, j'étais parti manger

Bonjour raymond,

1° Ah oui, bien vu ! C'est plus direct.
2° Oui effectivement, je n'avais pas pensé au noyau.

Kaiser,

je ne vois pas où tu veux en venir... faut-il utiliser les valeurs de A ?
re : Exercice - Matrices#msg1091897#msg1091897 Posté le 29-04-07 à 13:02
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

d'après ce que l'on a dit si CA=I que dire de l'application linéaire associée à A.

Kaiser
re : Exercice - Matrices#msg1091919#msg1091919 Posté le 29-04-07 à 13:05
Posté par Profilpuisea puisea Posteur d'énigmes

L'application linéaire associée à A est bijective.
re : Exercice - Matrices#msg1091962#msg1091962 Posté le 29-04-07 à 13:21
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

pas du tout !
seulement injective.

Kaiser
re : Exercice - Matrices#msg1091969#msg1091969 Posté le 29-04-07 à 13:22
Posté par Profilpuisea puisea Posteur d'énigmes

Ah mais oui bien sur !

Ce ne sont pas des matrices carrées !
re : Exercice - Matrices#msg1092128#msg1092128 Posté le 29-04-07 à 14:18
Posté par Profilpuisea puisea Posteur d'énigmes

Avec beaucoup de mal pour travailler sur la matrice car j'ai pas encore l'habitude, je trouve que l'application linéaire associée à A n'est pas injective mais qu'elle est surjective.

Donc B existe mais pas C, on est d'accord ?

re : Exercice - Matrices#msg1092156#msg1092156 Posté le 29-04-07 à 14:29
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Citation :
Avec beaucoup de mal pour travailler sur la matrice car j'ai pas encore l'habitude, je trouve que l'application linéaire associée à A n'est pas injective mais qu'elle est surjective.


en fait, ce n'est pas si compliqué.
Il suffit de remarquer que si l'application était injective, alors la dimension de l'espace d'arrivée est nécessairement supérieure à celle de départ, ce qui n'est pas le cas.

Citation :
Donc B existe mais pas C, on est d'accord ?


OK pour C mais pour B, on ne le sait pas encore. Il faudra le montrer.

Kaiser
re : Exercice - Matrices#msg1092201#msg1092201 Posté le 29-04-07 à 14:40
Posté par Profilpuisea puisea Posteur d'énigmes

Citation :
Il suffit de remarquer que si l'application était injective, alors la dimension de l'espace d'arrivée est nécessairement supérieure à celle de départ, ce qui n'est pas le cas.


Tu vois ca comment ?

Car moi je suis parti de :

\rm A=\[{1 2 -3\\2 1 -2\\1 0 0\\0 1 0\\0 0 1}\]

et je suis arrivé à :

\rm A=\[{3 0 0\\3 3 0\\1 2 1\\1 -1 4\\0 0 3}\]

par des opérations de pivot. On a donc (1,4,3) qui est un vecteur directeur du noyau, et {(1,0),(1,1)} une base de l'image.
re : Exercice - Matrices#msg1092221#msg1092221 Posté le 29-04-07 à 14:45
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Citation :
si l'application était injective, alors la dimension de l'espace d'arrivée est nécessairement supérieure à celle de départ,


car l'image d'une base par une application linéaire injective est une famille libre donc le cardinal est alors inférieur à la dimension de l'image.

Citation :
ce qui n'est pas le cas


l'application va de \Large{\mathbb{R}^{3}} dans \Large{\mathbb{R}^{2}}

Kaiser
re : Exercice - Matrices#msg1092234#msg1092234 Posté le 29-04-07 à 14:48
Posté par Profilpuisea puisea Posteur d'énigmes

D'accord

Etant donné les calculs sur A et les résultats (base de l'image), est-ce suffisant pour dire que l'application associée est surjective ? Car la base obtenue est bien une base de R².
re : Exercice - Matrices#msg1092243#msg1092243 Posté le 29-04-07 à 14:50
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

oui mais tu peux aussi remarquer que le rang de la matrice est de rang 2 en disant que les vecteurs lignes sont indépendants (ce qui est simple à vérifier).

Kaiser
re : Exercice - Matrices#msg1092248#msg1092248 Posté le 29-04-07 à 14:52
Posté par Profilpuisea puisea Posteur d'énigmes

Oui, il faut travailler au maximum sur les rangs si j'ai bien compris

Merci Kaiser, j'en attaque un autre.
re : Exercice - Matrices#msg1092258#msg1092258 Posté le 29-04-07 à 14:53
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Mais je t'en prie !

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