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Radical d'un idéal
Bonjour,
Je bloque un peu sur un point de détail dans un exo.
On se donne un anneau A. Il s'agit de montrer que le radical d'un idéal I, défini par : ; est un idéal de A.
Le seul point qui me chagrine un peu est de prouver c'est un sous-groupe additif de A. Plus précisément, je n'arrive pas à montrer que si x est dans , alors -x est dans
.
J'arrive seulement à dire : si x est dans , alors
. Or comme I est un groupe (car un idéal), on a
. Mais cela ne signifie pas que
...
Alors comment faire? Merci! 
Bonsoir Rodrigues,
J'y avais effectivement pensé, mais je crois que derrière cette question se cache une beaucoup plus grave incompréhension de ma part quant à la théorie générale des anneaux.
Par exemple, si n est impair, peut-on écrire ?
Cela peut sembler automatique à cause des habitudes prises depuis le collège. Mais quand je creuse, je ne trouve pas que cela soit évident... A l'aide quels axiomes ou de quelles propriétés justifier ce calcul?
La première égalité reste très mystérieuse pour moi. Elle sous-entend que -x n'est pas qu'une notation pour désigner l'inverse de x. Mais qu'en fait, on a bel et bien mathématiquement -x = -1x.
Mais alors, que représente le -1? Un entier relatif, ou l'inverse de l'élément 1 de l'anneau?
Bref, ce petit exo peut amener à se poser pas mal de questions... En tout cas, il montre que je suis loin d'avoir bien assimilé les notions de base du cours.
Après avoir parcouru le cours de Ilemath.net, je vois donc qu'il s'agit bien de , l'élément neutre de A.
On a donc cette égalité là : , qui ne figure pas de façon claire dans mon cours.
Et lorsqu'on la lit en Français, je trouve qu'il y a de quoi être perplexe : l'inverse d'un élément pour la loi +, est égal au produit de cet élément par l'inverse de [l'élément neutre de la loi .] pour la loi + ...
Ce me paraît quasi magique, dans la mesure où je ne vois pas comment retrouver cela à partir des axiomes de définition d'un anneau...
-x est l'opposé de x pour la loi de groupe.
On a evidemment (-1)x=-x puisque (1+(-1)).x=0.x=0 soit x+(-1)x=0 donc (-1)x=-x
Houla, ok... Pardon, mais j'suis un peu paumé avec ces anneaux. Autant ça allait à peu près avec les groupes, autant je "digère" mal le passage à deux lois internes... Il me faudra peut-être un peu de temps et de recul pour m'y habituer.
Donc, le calcul fait ci-dessus pour n impair est bien valable?
(Merci de votre patience en tout cas :p)
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