Salut !


En gros, si tu condiere Fq le corps finit à q element, sa cloture algébrique est la réunion des Fq^n pour tous n.

ce qu'on obtiens est bien un corps, car si on prend deux elment a dans Fq^n et b dans Fq^m alors ils sont tous les deux dans Fq^mn, et donc leurs somme et produit sont bien définit. et il ce trouve que ce corps est bien algébriquement clos

Salut Ksilver,

Ok pour la connaissance de ces clotures. C'est plus simple que ce que je pensais tout compte fait.

Et pour les propriétés algébriques, il y a quoi d'intéressant?
Pour les propriétés arithmétiques, je ne pense pas qu'il y ait quelque chose de spécialement intéressant mais bon on ne sait jamais...

la par contre j'en ai aucune idée, j'ai jammais étudié ces corps. mais globalement, je crois pas qu'il y ait autre choses à dire dessu que ce qu'on dit déja sur les corps finit eux meme (apres tous, comprendre la structure de tous les Fq^n ou de ce corps est pas vraiment différent je pense...)

mais la peut-etre que qqn aura plus de chose à dire que moi sur le sujet.

Ok ben merci beaucoup pour ce que tu m'as déjà appris.

Je vais attendre gentiement l'avis d'autres algébristes.

je sais pas si j'ai bien compris la question...

mais par exemple si K est la cloture algébrique de Fp alors tu peux voir que l'ensemble des racines de l'unité dans K c'est K lui-meme.
(ce serait interressant de le redémontrer parce que je ne pense savoir le faire moi-meme )

Bonne fin de journée à tous!

errata : les racine de l'unité dans K c'est K* ^^

C'est pas tres compliqué :

dans Fq^n tous les elements vérifie déja z^(q^n)=z, donc des que z est non nul z^(q^n-1)=1. donc dans Kp (la cloture algébrique de Fq) tous les elements sont des racines de l'unité !

Merci Ksilver!

Ah ben voilà, on commence à en trouver des propriétés intéressantes!

Bonjour à tous!

Alors en vrac quelques propriétés de la cloture de F_p. (p premier)

D'abord, c'est un nouvel exemple de corps infini de caractéristique p.
Ensuite, pour tout entier n, dans il existe un et un seul corps isomorphe à . De plus, si m divise n on a . Donc Ksilver n'a pas tort de parler de la réunion de tous les corps finis de caratéristique p, mais c'est un peu plus subtil que ça, puisqu'ils ne sont pas tous disjoints, mais rangés selon la relation d'ordre de la divisibilité. Par exemple
mais les deux sont contenus dans

Autrement, ces corps ont des propriétés intéressantes pas tellement arithmétiques, mais les algèbres à coefficients là-dedans se présentent naturellement dans certaines théories.

erratum  F_p^2  intercepté avec  F_p^3  = F_p .
Mais bon c'est un lapsus scribe.
Sinon cette clôture algébrique est dénombrable (pas très original ) c'est un exemple de corps parfait infini de caractéristique p (x donne x^p  est bijectif).

Oui, bien sûr!

Ok, merci à vous.
Donc il n'y a pas grand chose de vraiment intéressant. Dommage! Mais bon tant pis, on peut pas tout avoir non plus.

On peut toujours ajouter des trucs : toutes les valeurs absolues sont triviales ....

Euh, tu définis comment la valeur absolue sur ces corps? Comme sur R?

Une valeur absolue sur un corps, c'est une fonction positive,multiplicative et sous additive (identité trigulaire) et telle que |0|=0

une valeur absolue trivial, c'est une valeur absolue telle que |x|=1 si x non nul 0 sinon.


sur les corps finit et leur cloture algébrique la seul valeur absolue est celle ci... mais c'est plutot une anti-propriété ca ^^ (une valeur absolue aurait permit de définir un topologie  intéressante, compatible à la strucutre de corps avec un complété qui soit encore un corps etc...)

On peut varier les amusements :

Soit alors  K  l'extension de Puiseux  séparable maximale de  F_p((1/T)) (c'est à dire U F_p^bar ((1/T^1/e)) pour tout  e premier à p)
alors  K  est muni d'une unique dérivation  D telle que  D(T)=1 .

Et  F_p^bar  = nôtre clôture algébrique de F_p  est exactement l'ensemble des x de K tels que  D(x)= 0 .

Ok pour la valeur absolue.

lolo >> Ah, là, ça devient vraiment intéressant. Vas-y lâche toi!!!

Puisque Ksilver a lancé le débat, il n'y a pas de topologie intéressante à mettre sur ces corps? Enfin, je veux dire pas les topo triviale ou grossière mais certaines qui leur serai plus ou moins "spécifiques" et adaptée.

si je crois qu'on peut mettre une topologie intéressante mais pas une associée à une valeur absolue. Avec la théoie de Galois des extensions infinies ça doit se faire....mais j'ai oublié

Ok lolo, au moins on sait que ça existe. Je vais essayer de chercher un peu sur le net pour voir si on trouve ça, ça serait pas mal.

ceci dit une topologie sur un ensemble dénombrable... ca sera à priori pas vraiment une "belle" topologie quoi...

Pourquoi ça serait moche? Les ensembles dénombrables n'acceptent pas facilement des topo intéressantes?

les exemples de belles topologie sont quasi systématiquement sur des espaxes ayant le cardinal de R. il y a bien sur des espaces plus gros intéressant, mais en géneral leur topologie sont nettement plus complexe. (note par exemple que tous les espaces séparable ont le cardinal de R ou N et les esaces séparables c'est quand meme assez général)

si je me trompe pas, les espaces dénombrables à part si tous les points sont isolé ne sont par exemple jammais de baire. donc ni localement compact ni complet. donc ca laisse quand meme pas bcp de possibilité.

C'est vrai que là on limite sérieusement les possiblités...

Ben y a quand même la topologie de Zariski qui est assez fondamentale en géométrie algébrique non ? (sur  (Fq^bar )^n ou l'espace projectif associé).

Les fermés sont les zéros de polynômes , cela dit cette topologie marche pour n'importe quel corps commutatif.

certe, mais bon c'est une topologie meme pas séparé.

Elle est peut etre pas séparée mais c'est la plus belle des topologie (c'est le théoricien des nombres en moi qui parle!)