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intégrale exponentielle de -x^2 sur R
Bonjour,
je cherche à montrer que :
Je trouve la primitive
mais d'après moi, ça donne 0 + 0 !
Merci
Tu es malin lol,
quand on dérive ce que dit être la primitive, on obtient quelque chose du genre la dérivée de (U/V)' !
Pose I=ton intégrale.
Calcule I^2 en dupliquant ton intégrale, et utilise Fubini-Tonelli.
Tu finis par un changement de variable en polaire.
Bonjour HighSchool2005
Ta primitive est fausse.
Tu n'y arriveras pas en cherchant une primitive que tu ne trouveras pas à ton niveau d'études.
Pour y arriver, il faut que tu passes en coordonnées polaires.
merci à tous je viens de comprendre pourquoi ma primitive ne convient pas. En fait, on ne peut pas trouver de primitive de exp(-x^2) juste comme ça ?
Oui, je suis en train de voir Fubini Tonelli mais sur le coup, je pensais qu'il y avait quelque chose de direct !
Je ne vais pas détailler tous les calculs ! 
Encore merci
Je suis en L3 donc comme ceux qui font prépa font 3 ans en 2 ans, j'ai pensé que je devais mettre mon message ici.
oui mais je ne voyais pas quoi faire pour cette intégrale. Dès que j'ai vu vos réponses, la solution est devenue beaucoup plus claire !
Réponse à H_aldnoer qui écrit :
"Comment, comment JJa, il existe une primitive de ça ? Mon prof me dit que l'on ne peut en trouver !"
L'article de vulgarisation "Safari au pays des fonctions spéciales" (dans le N°55 du magazine QUADRATURE, pp.6-16) avait pour but de répondre à ce genre de questions ( et par là même, de faire comprendre ce que veut dire ton prof ).
Lorsqu'on a vu cela, l'apparente contradiction disparait comme par enchantement !
Une occase de publicité (non rétribuée) pour le magazine QUADRATURE...
Bonjour 
Comment, comment JJa, il existe une primitive de ça ?
Ben évidemment qu'il existe une primitive, la fonction est continue
Il est clair que cette fonction à une primitive par exemple.
Le fait qu'on arrive pas à la calculer n'empèche pas qu'elle existe.
Par contre pour prouver qu'on ne peut exprimer simplement cette primitive en terme de fonctions usuelles, il faut faire un peu de théorie de galois différentielle.
Il est tres facile toutefois de calculer la valeur de l'intégrale sur R (la méthode a deja ete indiquee, on peut aussi la retrouver à partir de la fonction gamma) et on peut obtenir une assez jolie expression de la primitive (appelée erf je crois) en developpant l'exponentielle en série.
ok ok!
Par contre, Rodrigo qu'entend tu par "on peut aussi la retrouver à partir de la fonction gamma" ?
OUi on peut retrouver la valeur de cette intégrale à partir de la formule des compléments. Tu peux chercher c'est pas tres difficile....
La formule des complements dit que . Elle est valable sur C tout entier...Donc a priori il faudrait que tu connaisses le prolongement meromorphe de gamma.Mais ici comme tu t'intersse à la valeur de 1/2 ce suffit.
Je ne connais pas les "prolongements méromorphe".
Nous avons nous définis la fonction gamma pour x réel!
J'aimerais bien avoir la démonstration de la formule des compléments dans le cas réel si possible.
Hum dans le cas réel...je vais chercher pour voir si je trouve une démo élémentaire dans le cas réel...je te promet rien car dans le cas complexe on utlise des propriétés de méromorphie...Je vais grifonner deux trois trucs
Bon il me semble que j'ai trouvé une solution, mais je dois avouer que c'esta sssez technique...d'aucun diront peu élégant, enfin elle a le mérite d'être élémentaire. Je te la donne sous les randes lignes car c'est assez long, et le détali des calculs est ma foi peu interssant...
On considère s un réel 0<s<1.
On montre d'abord que
Cela résulte de manipulations (qui a dit cuisine?) élémentaires sur les intégrales (des chgts de variables en fait)
Ensuit il est naturel de developper les intégrales de droite en série, l'ennui c'est qu'aucun théorème général ne s'applique on prouve alors à la main (en controlant le reste de la série gémoétrique) que
La je dois avouer que j'étais un peu déçu par la forme de la série...mais bon on préssent quand même un développpement en série de fourier. Alors j'ai développe sin(s \pi) en série de fourier (vu qu'elle intervient dnas la formule) ca donnait quelque chose approchant mais pas tout à fait ça... Qu'a cela ne tienne, j'ai essayé son copain cosinus. Et apres quelques essais, j'ai trouvé la bonne fonction
Pour 0<t<1
Puis on évalue cette égalité en t=1 qui nous donne que la somme intervenant dans la formule de gamma(s)gamma(1-s) est bien égale à pi/sin(pi*s). Pout 0<s<1.
Bon tout ce travail pour calculer gamma(1/2), c'est un peu beaucoup, mais la formule qu'on a établit dite des complements est tres utile (pour l'étude de la fonction zeta notemment et de toutes les fonctions L en général qui sont intimement liés avec la fonction gamma.)
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