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Algèbre bilinéaire, procédé d'orthonormalisation
Bonjour Raymond,
Je vais t'exposé le problème
J'ai fais 75 pour cent de l'exercice mais je bloque à la derniere question sur le procédé de schmidt
voila le sujet:
Soit Q la forme quadratique sur R² admettant dans la base canonique B=(e1,e2) l'expression :
Q(v)=2x12+2x22+2x1x2
1- Déterminer la matrice M qui représente Q dans la base canonique.Ma réponse est:
2 1
1 2
2-Déterminer les Valeurs Propres et les vecteurs propres de M.J'ai trouvé:
Valeur propre lambda=1 et lambda =3
vecteur propre:
lambda=1 ( M-I)x=0 ----> X=x(1,-1)
lambda=3 (M-3I)x=0 ----->X=x(1,1)
3-Montrer que M est la matrice d'un produit scalaire et déterminer une base orthonormée pour ce produit scalaire formée de vecteurs propres.
ma réponse est:
M est un P.S car les valeurs propres 1 et 3 sont strictement positives.
la base orthonormée
la matrice,
1 1
-1 1
ne convient pas car les 2 colonnes, qui représentent des V.P
,ne forment pas une base orthonormée pour le Produit scalaire ordinaire de R².
Néanmoins,ils sont déja orthogonaux.
la matrice de passage R est:
R=s 1 1
-1 1
avec s= 1/(
2)
on vérifie que tR.R=Id - --> tR=R-1
4- En utilisant la méthode de schmidt déterminer une nouvelle base orthonormée pour le produit scalaire construite à partir de la base canonique B.
Peux tu me détailler cette question et me donner aussi l'autre méthode: par la décomposition de Gauss.
Je pense que je n'ai pas encore trop saisi cette partie, malheureusement.
Merci d'avance
Bonsoir.
D'accord avec toi pour le début.
Soit (u1,u2) la base canonique de R² et (v1, v2) une base orthogonale pour le produit scalaire de l'énoncé que je note f.
La méthode de Schmidt s'écrit :
Pour trouver le coefficient k21, on exprime que v1 et v2 sont f-orthogonaux :
f(v1 , v2) = 0 donne :
Il te reste à faire le calcul.
Bonsoir Raymond,
Est-ce que je pourrais avoir des explications sur cette question?
Que vaut V1 et V2? personnellement je fais un blocage
Est-ce que V1=1?
Bonsoir maxou_n.
Que se passe-t-il ? Les vacances ont été trop longues?
Tu as la base canonique de R² :
u1 = (1,0)
u2 = (0,1)
C'est vraiment élémentaire.
Ensuite, tu appliques le schéma de construction de Schmidt que je t'ai indiqué plus haut.
Donc
1°) v1 = u1 = (1,0)
2°) Tu écris v2 comme je te l'indique et en exprimant que v2 est orthogonal à v1 tu trouves la valeur de la constante.
Bonjour raymond,
V2=U2+K21.V1
k21=-((0,1),(1,1)/((1,0),(1,0))
V2=(0,1)-(((0,1),(1,1)/((1,0),(1,0))).(1,0)
Bonjour.
Dans l'énoncé, tu as l'expression du produit scalaire :
(x|y) = tX.M.Y
Donc, tu vas vite me calculer les produits scalaires te donnant la constante k21.
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