Bonjour

Comme c'est un morphisme, on a f(0)=0 et f(1)=1. Puis f(2)=f(1+1)... et récurrence!

Salut,

Mieux: .

_{(Sauf erreur)}

Ayoub.

Attention Ayoub! Sans hypothèse supplémentaire (comme monotone ou continu) je ne suis pas sûre...

C'est bien ce que je me suis dit juste après avoir envoyé le message.
Pas grave, je change R en Q et là ça marche.

En fait, moi aussi je me suis précipitée... C'est forcément croissant car f(x²)=f(x)².

Euh si, Camélia, ça mrche quand même puisque c'est un morphime. Je retire ien.

Bonjour,

si si ca marche si on a un morphisme de corps(de groupe ca marche pas).

ok merci beaucoup, j'avais juste besoin pour Q après!

Il me semble que le même exercice a été posté hier, la grosse astuce se situe dans le fait que f est positive sur R+ et négative sur R-.

Je me permet d'apporter quelques compléments...ce qui cloche ici c'est que R est trop gros pour qu'on puisse prolonger les morphismes de corps non triviaux des extensions de Q, en fait R n'étant pas algébrique on ne peut pas prolonger par exemple l'automorphisme de Q[sqrt(2)] sur Q[-sqrt(2)] ce qui est possible dans la cloture algébrique de Q (qui ne s'injecte pas dans R, et R ne s'injecte pas dedans non plus).

Ici le point clé pour prouver que les automorphismes de corps de R sont triviaux est qu'ils sont montones (car poitif sur R+, comme l'a noté camélia), mais en fait R est tres peu interssant d'un point de vue algébrique essentiellement car Gal(C/R)=2/2Z, du coup il n'y a pas d'extensions algébriques de R interessantes.

Ce qui n'est pas du tout le cas pour Q, ces extensions sont tres nombreuses et Gal(Qal/Q) est tres complexes, par exemple une conjecture célèbre prétend que tout groupe fini est un sous groupe de ce groupe de galois (et il l'est alors clairement d'un infinité de façon différente), c'est dire si la situation est différrente... Tout ca pour dire que R est vraiment un objet analytique...

Je me permet d'apporter quelques compléments...ce qui cloche ici c'est que R est trop gros pour qu'on puisse prolonger les morphismes de corps non triviaux des extensions de Q, en fait R n'étant pas algébrique on ne peut pas prolonger par exemple l'automorphisme de Q[sqrt(2)] sur Q[-sqrt(2)] ce qui est possible dans la cloture algébrique de Q (qui ne s'injecte pas dans R, et R ne s'injecte pas dedans non plus).

Ici le point clé pour prouver que les automorphismes de corps de R sont triviaux est qu'ils sont montones (car positif sur R+, comme l'a noté camélia), mais en fait R est tres peu interssant d'un point de vue algébrique essentiellement car Gal(C/R)=2/2Z, du coup il n'y a pas d'extensions algébriques de R interessantes.

Ce qui n'est pas du tout le cas pour Q, ces extensions sont tres nombreuses et Gal(Qal/Q) est tres complexes, par exemple une conjecture célèbre prétend que tout groupe fini est un sous groupe de ce groupe de galois (et il l'est alors clairement d'un infinité de façon différente), c'est dire si la situation est différrente... Tout ca pour dire que R est vraiment un objet analytique...

Je dirais même plus: ce qui cloche ici c'est que R est trop gros....