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Trace de matrices
L'exercice est de démontrer que pour deux matrices A et B de Sn(R), on a:
tr^2(AB+BA) est inférieure ou égale à 4*tr(A^2)*tr(B^2)
Je ne sais pas quoi faire.
Merci de m'aider à démarer cet exercice.
Salut,
introduis la forme bilinéaire symétrique (A,B)-->tr(AB+BA).
Si on montre que c'est un produit scalaire, Cauchy-Schwarz nous donne l'inégalité.
Tu poses et
.
Après quelques manipulations (en écrivant les produits), je parviens à comparer :
et
Puis voir au niveau des sommes géométriques et arithémiques peut-être. 
Merci pour vos réponses.Je crois que je vois comment faire maintenant.
Bonsoir.
On sait que l'application
f : Sn(R) X Sn(R) ---> R définie par f(A,B) = tr(AB)
est un produit scalaire sur Sn(R) que je note ( | ).
D'autre part, les propriétés de la trace donnent :
tr(AB + BA) = tr(AB) + tr(BA) = tr(AB) + tr(AB) = 2tr(AB) = 2(A|B)
Donc :
[tr(AB + BA)]² = 4(A|B)².
Par ailleurs :
tr(A²) = ||A||² et tr(B²) = ||B||²
L'égalité que tu as à prouver est donc celle de Cauchy-Schwarz.
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