Définition d'une application différentiable

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

Bonjour,

j'ai un petit souci dans ma définition d'une application diff.
On dit que f est diff, f étant défini de U dans V, avec U ouvert de et V ouvert de , si :


Dans la suite du cours, le prof note que le est tel que et cela est possible car U est un ouvert.

Je ne comprend pourquoi cela est possible ?

Posté par jeanseb jeanseb

Parce qu'un ouvert est un voisinage de chacun de ses points: il contient une boule ouverte de centre ce point. Donc tu peux trouver une boule ouverte (donc un h) contenue dans U.

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

Il existe donc un r>0 tel que B(a,r) soit incluse dans U ?

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

puisque c'est vrai pour chacun des points, c'est pour le point a de la définition?

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Salut tout le monde,

jeanseb >> Ok pour la propriété de l'ouvert. Mais le prof a noté "" alors qu'en principe c'est "".

Je raconte que des conneries?

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

Alors moi j'ai ceci :
Il existe donc un r>0 tel que B(a,r) soit incluse dans U.
si a+h est B(a,r) alors ça sera Ok, car B(a,r) est incluse dans U, donc on aura bien a+h dans U.

donc on regarde ||a+h-a||=||h||.
Donc si on prend h en norme suffisament petite, cad tel que ||h||<r, on aura bien que a+h est dans U.
correct ?

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

La définition est-elle bien celle là :
ouvert , tel que

?

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Il me semble que ce que tu dis est juste H_aldoner. Ce qui me tracasse (enfin oui, j'exagère un peu là ) c'est que dans ton premier post, ton prof affirme que quelque soit h dans R^n on a a+h dans U et donc a priori même plus grand que r...

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Oui, c'est la définition des ouverts dans les espaces métriques en général ça. Donc pas de souci, on est d'accord dessus.

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

Oui, en faite le premier coup ou il utilise la définition il met bien "pour tout". Après quand il définit les dérivées directionnelles, il écrit toujours pour tout et il dit "tel que a+h soit dans U, ce qui est possible car U est ouvert".
Ce que j'aimerais comprendre c'est est-ce que je ne raconte pas de connerie en disant qu'effectivement a+h est U à condition que h soit en norme plus petite que r.

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1


Là, je suis presque sur: tu ne racontes pas d'ânneries.

Par contre pour le reste, je laisse les autres t'aider: je comprends pas plus que toi.

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

Ok, merci!

Posté par lafol lafol

Bonjour
en fait dès ta première définition, tu es bien obligé de ne garder que les h tels que a+h soit dans U, si tu veux pouvoir calculer f(a+h) , puisque f est définie sur U .....

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Pourquoi dire dans ce cas, que c'est vrai quelque soit h dans R^n ?

Posté par lafol lafol

à mon avis, il manque le "tel que a+h dans U" ....

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

ok lafol, et a-t-on bien le fait que a+h est dans U si h est en norme plus petite que r ??

Posté par lafol lafol

mais pas "seulement si" .....

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

"si et seulement si" alors ?

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

A condition que le "r" en question soit le plus grand possible...

Posté par lafol lafol

non, justement ! si, mais pas seulement !

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

comment ça ?

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

mon dernier post s'adresse à Schumi!

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Je retire ce que j'ai dit.

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

lafol, on a donc :
si alors ?

Posté par lafol lafol

avec r tel que B(a,r) contenu dans U, oui.

Posté par otto otto

Non il y'a une erreur, mais surement que c'est pour tout h dans une certaine boule plutôt ou pour tout h dans R^n, et pour un certain e>0 tu considères x+eh

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

otto, le prof a bien écrit ce que j'ai mis dans mon premier post.
donc en fait selon toi c'est :

Posté par otto otto

Re-,
il existe r tel que ta phrase soit vraie, oui, parce que tu veux prendre n'importe quelle direction (c'est ce que "matérialise" h) mais tu veux que a+h soit encore un point en lequel f soit définie.
Tu sais que ceci est possible car U est ouvert.

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

Qu'est-ce qui est "possible" ?
Que a+h soit encore dans U ?

Posté par otto otto

Oui

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

Voila ce que j'avais compris :
U est un ouvert de donc quelque soit x dans U, il existe un r>0 tel que B(x,r) est incluse dans U par définition. C'est donc vrai pour x=a et donc B(a,r) est incluse dans U.

On veut que f soit définie en a+h, donc a+h soit dans U.
Si a+h est dans B(a,r) on aura bien ce que l'on veut.
Mais a+h dans B(a,r) équivaut à ||a+h-a||<r cad ||h||<r.

Donc si ||h||<r alors a+h dans U.

Posté par Rodrigo Rodrigo

Salut,
De toute façon ici le h n'a comme vocation que de tendre vers 0 et pour un h de norme assez petite il sera toujours dans ton ouvert. L'important dans le h n'est pas sa norme mais sa direction.

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

Il est donc en effet possible que a+h soit dans U, si l'on fait en sorte que h soit en norme plus petite qu'un certain r>0.

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

A priori r n'est pas "petit", si?

Posté par otto otto

A priori r est suffisament petit pour que B(a,r) soit inclus dans U.

Posté par Rodrigo Rodrigo

Aucun nombre n'est petit!

Posté par Rodrigo Rodrigo

Mais si on le prend assez petit on est sur que ca marchera

Posté par lafol lafol

Que r soit petit ou grand n'empêchera pas h d'être petit quand il sera de norme inférieure à r

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

Ok!
Donc je retiens qu'il est possible que a+h soit dans U, car ce dernier est ouvert (il suffit que h soit en norme "petite")

Posté par lafol lafol

tu peux même dire "suffisamment petite", ce qui rappelle le caractère relatif de la "petitesse" .... ça dépend de où est a par rapport au "bord" de U, en gros.

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

Ok lafol,
par contre c'est "il suffit" et pas "il faut" ?

Posté par lafol lafol

oui, car si a est "loin des bords" de U, la norme de h n'aura pas besoin d'être si petite que ça pour que a+h reste dans U

Posté par lafol lafol

imagine U comme une marguerite avec a au centre du coeur : si tu pars dans la direction d'un pétale, tu peux avoir une norme de h assez grande, mais si tu pars entre deux pétales, tu es limité au coeur de la fleur. il suffit que norme de h soit inférieur au rayon du coeur pour que a+h soit dans la marguerite, mais ce n'est pas nécessaire ....

Posté par Rodrigo Rodrigo

Tres joli

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

C'est assez flou comme image on va dire!
Toutefois, je pense avoir saisi la nuance.

Posté par Rodrigo Rodrigo

Plus simple imagine que ton ouvert U soit la reunion disjointe de deux boules ouverts alors prend un point dans la première boule, pour h de norme plus petite que le rayon alors a+h sera dnas la boule...mais il existra certains h de norme plus grande tel que a+h soit dnas le seconde boule...

Posté par lafol lafol

si ||h|| < rayon du cercle rouge, a+h est dans la marguerite
ce n'est pas nécessaire : le a+h représenté est dans la marguerite sans que ||h|| ne respecte cette condition

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

J'ai essayé Rodrigo :
Je prend (on prend U comme union de la boule B de centre a et de rayon r et de la boule B2 de centre a' et de rayon e)
si ||h_1||<r alors est dans U. Mais ce n'est pas necessaire car on ||h_2||>r et pourtant dans U.

Posté par H_aldnoer H_aldnoer

Ah j'avais pas vu lafol, merci pour ce dessin!
Je pense avoir compris maintenant!

Posté par lafol lafol

petit truc pour tracer des cercles et pas des ellipses avec paint ou autres : maintenir "Ctrl" enfoncée pendant que tu étires le dessin