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Polynômes prépa. sup
Bonjour, bonsoir tout le monde,
Je suis éléve en classe préparatoire intégrée à EPITA, et dans moins d'une semaine j'ai mes 1er partiels, je suis entrein de réviser, mais je but sur quelques questions de mathématiques !
Je vous éxpose mon problème :
Polynômes :
J'aimerais avoir de l'aide sur les questions suivantes :
Exercice 1 :
Déterminer le reste de la division euclidienne de Q(x) = (x - 2)2n + ( x - 1)n- 2, par :
a) (x - 2)(x - 1) ?
b) (x - 1)2?
Exercice 2 :
Soient a appartenant à R, P appartenant à R[X] et Q(x) = 0,5(X - a)(P'(X) + P'(a)) - P(X) + P(a).
1) Montrer que a est une racine au moins triple de Q .
2) Montrer par récurrence que Pour tout n supérieur ou égale à 3 on a :
Q(n)(X) = 0,5(X - a)P(n + 1)(X) + 0,5(n - 2)P(n)(X).
3) Donner une condition suffisante pour que a soit racine d'ordre exactement 4 de Q.
Je vous remercie d'avance pour vos aides, j'en ai vraiment besoin !
CDT, EPITA_2012.
2/1/As tu pensé a dériver deux fois?
Pour le 2/ avec ta dérivation utilise Leibnizt
3/ Ca traduit que la dérivée troisieme s'annule mais pas la quatrieme...
(Tiens quelqu'un de l'epita... C'est comment la bas...)
Pour la question 1 de l'éxercice 2, il faut dont dérivée 2 fois ?
Donc j'obtient en dérivant 2 fois :
(si je ne me trompe pas, je concidére que P'(a) est un réel fixé et la même chose pour P''(a)) donc j'obtient :
Q'(X) = 0,5(P'(X) + P'(a)) + 0,5(X - a)P''(X) - P'(X)
Q''(X) = 0,5P''(X) + 0,5P''(X) + 0,5(X - a)P(3)(X) - P''(X) .
Est ce bon ?
Pour la question 2 du même exercice, il faut démontrer par récurrence :
L'initialisation se fait donc par :
n = 3, je pense, c'est bien ça ?
aprés l'héridité :
On suppose que la propriété P(n) est vérifier, on le démontre pour P(n + 1), alors c'est la que je calle ! Je peux avoir une petit aide sur la propriété P( n + 1 ) ?
Aprés pour la conclusion, je pense que dés que je réussirais à vérifier la propriété P(n + 1) ça sera bon !
Pour la question 3 :
Je dérive une 3ème fois Q(x) et je trouve donc :
Q(3)(X) = P(3)(X) + 0,5P(4)(X) + P(3)(x)[0,5(X - a) - 1].
Je calcul aprés Q(3)(a) = 0,5P(4)(a).
Alors la est ce que c'est bon ? Si c'est bon je dois conclure quoi ?
Merci pour votre réponse rapide !!!
(Pour EPITA ça se passe trés bien, j'aime beaucoup ce qu'on fait que ce soit en mathématiques, physique et Informatique !!! Si vous voulez d'autres renseignement il n'y a pas de problème contacter moi par mail !)
Bonjour
La question 1 :
Il existe Q, a et b tels que :
En prenant X=2 on obtient -1=2a+b
en prenant X=1 on obtient -1=a+b
On a donc a=0 et b=-1
b) même idée en dérivant.
Merci Nightmare Pour ton aide !!
Alors donc pour la question 1 de l'éxercice 1, j'obtient donc, d'aprés ce que vous m'avez écris :
P(2) = - 1 = 2a + b
P(1) = -1 = a + b
En résolvons le système : 2a + b = -1
a + b = -1
On obtient bien : S = { 0 , - 1}
Donc je dois conclure que :
Q(x)= (x - 2)(x - 1)Q(X) - 1, par conséquent le reste de la division de Q(x) par (x - 2)(x - 1) est - 1 c'est bien ça ?
Pour la question 2, je ne vois pas comment faire !
En dérivant ?
Pouvez vous me donner un peux plus d'éxplication ?
Merci beaucoup de vos réponses !
CDT, EPITA_2012
Normalement si a est racine d'ordre de multiplicité n de Q, alors Pour tout k allant de 0 jusqu'a n-1
Bon par contr apres ca m'a pas l'air non plus évident a exploiter... Mais y'a pas quarante def...
Sinon pour
Ton cas n+1 c'est simplement
Tu dis que (
)'(X) Apres tu prend ton hypothese au cas n, et puis ca roule... (Sauf si tu commences comme moi au début a aller dans un délire
'=n
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