La première question en soit pas te poser de problème racine de 2 est rationnel.

La seconde, il y a plusieursmaoyen de procéder de tres élémentaire à tres sophistiqué, si tu as vu les normes algébriques (sur les extensions de Q) alors remarque que tes elements sont présiement les éléments de Z[sqrt(2)] de norme 1, c'est clairement un groupe.

Beaucoup plus élémentairement, reviens à la définition d'un groupe...

Ou montre que c'est un sous groupe de Z[sqrt(2)]

question 1 ok !

question 2 - Je ne vois pas du tout de quoi vous me parlé.

Dans mon cours on me dit qu'il faut montrer que la loi est interne, associative, élément neutre et élément symétrique.

Mais meme la loi interne je n'arrive pas a la démontrer .

Pour montrer que la loi est interne tu prends deux éléments tels que x²-2y²=a²-2b²=1, et montre que le prduit vérifie la meme condition... mais en fait tu as juste besoin de montrer que c'est un ss groupe de Z[sqrt(2)], c'est à dire de vérifier la stabilite par produit et apssage à l'inverse.

x+y2 . +2 = x + 2y + ( x + y )2

...

Et donc...vérifie que c'est bien dans ton ensemble G

oui c'est fais !

je vais continué par montrer toutes les 3 autres lois car "Z[sqrt(2)]" je ne comprends pas ce que cela signifie !

Z[sqrt(2)] est l'anneau engendré sur Z par racine de 2... c'es ne particulier en groupe...Mais tu y arriveras aussi par ta méhtode!

ah oui anneau le prof a juste fait une parenthese la dessus ! donc je n'ai pas d'autre choix que de tout démontrer .

Pour la loi associative ... si A,B,CG .

(A.B).C = A.(B.C)

rien a démontrer la loi x est par définition associative !

oui

élément neutre : a+b2 = 1

élément symétrique: 1/(x+y2)

Faut quand meme démontrer que le symétrique est dans G

(x-y2)/(x-y2) = 1 élément neutre


1/(x+y2) . (x-y2)/(x-y2) =


(x-y2) / x²-2y²  =  (x-y2)  simplification !


et x-y2 G

je ne sais pas si ça suffit ?

Si c'est bon!

ça se complique !

je dois maintenant montrer que H = { (3+22)ⁿ, n } est un sous groupe de G  !

Il te suffit alors de prouver qu'il est stabe par produit et inverse.

" par produit et inverse " ?

cela signifie que : soient A = (3+22)^a et B = (3+22)^b

alors A.B H ?

si c'est ça alors c'est évident car A.B=(3+22)^a+b H

mais inverse ? élément symétrique ?

OUi inverse=élément symétrique.

donc déja l'émlément neutre e est inclu dans H pour n=0.

par définition    A.A' = e

(3+22)ⁿ.(3+22)^n' = 1

Soit (3+22)^n' = (3+22)^-n

ok !

j'ai une question, je suis d'accord que 3+22 appartient à G, mais je ne vois pas que à la puissance n^ième cela appartient a G

4 et derniere question ) En déduire qué l'équation proposée a une infinité de solutions; donner par exemple un solution (a,b) avec a>10 et b>10 .

Parce que G est un groupe...

non je ne comprends pas cela, pourrais tu m'expliquer cela autrement si c'est possible ?