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Base de polynome - formule de Taylor
Bonsoir, voila le devoir que j'ai à faire:
On se place dans 
n[X] et on considère un polynôme P de degré n fixé, ainsi que n+1 réels {ai}i=0..n deux à deux distincts.
On définit pour tout k=0,..,n, Qk(X)=P(X+ak).
Montrer que {Qk, k=0,..,n} est une base.
et le prof nous donne comme indication : on pourra utiliser la formule de Taylor
Je n'ai vraiment aucune idée de la manière d'attaquer cette exo ( enfin si je sais qu'il faut montrer que la famille est libre et génératrice 
...). Et encore moins du moment où il va falloir utiliser Taylor...
Pour montrer qu'elle est génératrice je prends un polynome R de n[X] et je dois montrer qu'il peut s'écrire sous la forme d'une combinaison linéaire des Qk... est ce là qu'il va falloir utiliser Taylor?
Et pour montrer qu'elle est libre je n'ai aucune idée...
Merci de votre aide
Bonsoir, en toute rigueur montrer que la famille est libre ou généartrice suffit car Rn[X] estd e dimension n+1.
Donc contente toit de prouver qu'elle est libre... Prends un comb lineaire nulle de ta famille et utilise fa formule de Taylor pour exprimer tes P(X+ak) en fonction de P(X)
Bonjour,
tu montres l'un ou l'autre, puisque tu as n+1 polynômes, si tu as la liberté alors tu auras le caractère générateur et inversement.
Oui vous avez raison prouver qu'elle est génératrice suffit
par contre je ne comprends pas ce que vous entendez par "prends une combinaison linéaire nulle de ta famille"?
ah oui j'étais partie sur prouver qu'elle était génératrice et non sur la liberté... j'avais mal lu escusez moi
je vous remercie je vais partir sur ça (il faut donc que j'utilise la formule de Taylor à l'ordre n+1 ???)
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