Niveau Maths sup

générateurs du groupe alterné

Posté par
romu 01-02-08 à 22:40

Bonsoir,

j'ai un peu de mal avec cet exo:

Citation :
Montrer que pour $n\geq 3$ , le groupe alterné $A_n$ est engendré par les cycles $(1,2,3)$ et $(3,...,n)$ si $n$ est impair

et les permutations $(1,2,3)$ et $(1,2)(3,...,n)$ si $n$ est pair.

Pour le premier cas c'est bon j'ai trouvé que tout pour tout $i$ , on a:

$(1,2,i)=(3,...,n)^{i-3}(1,2,3)(3,...,n)^{n-i+1}$ ,

et comme les $(1,2,i)$ engendrent $A_n$ c'est bon.

Par contre je ne vois pas la nécessité que $n$ soit impair

Merci pour vos réponses.

Posté par re : générateurs du groupe alterné 01-02-08 à 22:45

ah oui non c'est bon en fait j'ai compris, c'est encore à cause de cette satanée signature $\epsilon((1,2,...,n))$ qui ne serait pas égal à un autrement.

Posté par re : générateurs du groupe alterné 01-02-08 à 23:45

Bon après pour le cas $n$ pair, je pense avoir trouvé:

si $i$ impair, on a : $3$(1,2,i)=[(1,2)(3,...,n)]^{i-3}(1,2,3)[(1,2)(3,...,n)]^{n-i+1}$

si $i$ pair, on a : $3$(1,2,i)=[(1,2)(3,...,n)]^{i-3}(1,2,3)^2[(1,2)(3,...,n)]^{n-i+1}$

Posté par re : générateurs du groupe alterné 02-02-08 à 14:21

Bonjour

Apparemment tu te débrouilles tout seul...

Posté par re : générateurs du groupe alterné 02-02-08 à 15:42

ok merci Camélia.

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