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Algèbre >> Dérivation

Posté par
Skops 02-02-08 à 17:10

Bonjour,

Blocage sur le DM d'algèbre

Citation :

Soit (A,+,.) un anneau (qui n'est à priori pas commutatif)
On note 0 et 1 les élements neutres additifs et multiplicatifs de A

Une application 4$\delta:A\rightarrow A est appelée une dérivation sur A lorsqu'on a les relations suivantes :

4$\fbox{\delta(x+y)=\delta(x)+\delta(y)\\\delta(xy)=x\delta(y)+\delta(x)y

I) Proprietés

1. Calculer 4$\delta(0) et 4$\delta(1)

2. Soit 4$x\in A. Calculer 4$\delta(-x) en fonction de 4$\delta(x)

3. Soit 4$x\in A inversible. Exprimer 4$\delta(x^{-1}) en fonction de 4$\delta(x) et de 4$x^{-1}

4. On suppose que 4$\delta(x) et x commutent. Soit 4$n\in\mathbb{N}. Calculer 4$\delta(x^n) en fonction de x et de 4$\delta(x).

5. On pose 4$C=\{x\in A tel que 4$\delta(x)=0\}

5.a) Montrer que C est un sous anneau de A
5.b) Montrer que si (A,+,.) est un corps alors C est un sous corps de (A,+,.)

II)

1. Pour 4$a\in A, on considère 4$d_a:A\rightarrow A,x\rightarrow ax-xa
Montrer que da est une dérivation sur A

2. Dans cette question, A est l'anneau des fonctions deux fois dérivable sur 4$\mathbb{R} dans 4$\mathbb{R} et 4$\delta l'application définie par 4$\delta(f)=f'.
4$\delta est il une dérivation ? 4$\delta o \delta est il une dérivation ?



Mes réponses :

1. 0 et 0
2. 4$\delta(-x)=-\delta(x)
3. 4$\delta(x^{-1})=-x^{-1}\delta(x)x^{-1}
4. je bloque

Une ptite question : quand on dit que x est inversible, il est inversible par + ou par . ?

Merci

Skops

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Algèbre >> Dérivation 02-02-08 à 17:18

Salut Skops

Par récurrence montre que:
4$\delta(x^n)=\Bigsum_{k=1}^{n}x^{k-1}\delta (x)x^{n-k}

Posté par
Nightmarere : Algèbre >> Dérivation 02-02-08 à 17:19

Salut

Ben dans un groupe tout élément admet un symétrique pour la loi +. Un anneau étant en particulier un groupe, il serait idiot de dire "Soit x un élément inversible pour la loi +". Par contre tous les éléments ne sont pas inversibles pour la deuxième loi. Donc lorsqu'on dit qu'un élément est inversible, c'est pour la deuxième loi.

Posté par
Skopsre : Algèbre >> Dérivation 02-02-08 à 17:19

Salut monrow

Tu l'as sors d'où la formule ?

Skops

Posté par
lafol Moderateurre : Algèbre >> Dérivation 02-02-08 à 17:19

Bonjour
pour répondre à ta question, une autre question : dans un anneau, peut-on trouver des éléments qui n'ont pas de symétrique pour la première loi ?
sinon, pour ton 4 : récurrence, formule de Leibniz

Posté par
Skopsre : Algèbre >> Dérivation 02-02-08 à 17:20

Salut Nightmare et merci

Skops

Posté par
lafol Moderateurre : Algèbre >> Dérivation 02-02-08 à 17:21

je dis n'importe quoi avec Leibniz : j'en étais déjà à vouloir dériver n fois le produit xy

Posté par
Skopsre : Algèbre >> Dérivation 02-02-08 à 17:21

Bonjour lafol (que de monde )

Oui mais récurrence sur quoi ? la formule donné par monrow ?
Parce que je ne connais pas la formule de leibniz

Skops

Posté par
lafol Moderateurre : Algèbre >> Dérivation 02-02-08 à 17:23

En fait, ici tu as la commutativité : tu vas retrouver quelque chose d'analogue au (u^n)^'=nu^{n-1}u^' : commence par n = 2 puis 3 pour te faire une idée.

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Algèbre >> Dérivation 02-02-08 à 17:25

comme a dit lafol, tu conjectures directement en étudiant des cas: n=1, 2, 3 par exemple puis tu montres ton résultat par récurrence

Posté par
Skopsre : Algèbre >> Dérivation 02-02-08 à 17:30

Donc il faut que je vois ce que donne delta(x²) et ainsi de suite ?

Skops

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Algèbre >> Dérivation 02-02-08 à 17:33

oui, il suffit de voir les premiers termes pour trouver une relation de récurrence logique

Posté par
lafol Moderateurre : Algèbre >> Dérivation 02-02-08 à 17:34

Voui !
delta(x²) = delta(xx)=x delta(x) + delta(x)x = 2x delta(x) puisque les deux commutent etc.

Posté par
Skopsre : Algèbre >> Dérivation 02-02-08 à 17:34

Mais que va donner delta(x²), xdelta(x)+delta(x)x ?

Skops

Posté par
lafol Moderateurre : Algèbre >> Dérivation 02-02-08 à 17:35

D'autant plus logique qu'on sait d'avance à quoi ça va ressembler ....

Posté par
Skopsre : Algèbre >> Dérivation 02-02-08 à 17:35

Ah oui, les deux commutent, j'avais oublié
Vais essayer

Skops

Posté par
lafol Moderateurre : Algèbre >> Dérivation 02-02-08 à 17:36

(PS : avec la convention si n entier naturel : nx = x+...+x, n termes dans la somme)

Posté par
Skopsre : Algèbre >> Dérivation 02-02-08 à 17:40

J'ai le droit de factoriser ?

Skops

Posté par
lafol Moderateurre : Algèbre >> Dérivation 02-02-08 à 17:41

Qu'entends tu par factoriser ? si c'est "faire usage de la distributivité", oui !

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Algèbre >> Dérivation 02-02-08 à 17:42

En effet, c'est un anneau donc ta deuxième loi est assiciative et distributive par rapport à +

Posté par
Skopsre : Algèbre >> Dérivation 02-02-08 à 17:45

Ah oui, c'est vrai

Je passe  à la question suivante

Skops

Posté par
Skopsre : Algèbre >> Dérivation 02-02-08 à 17:57

Alors pour montrer que C est un sous anneau de A, je dois montrer que :

- C est un sous groupe de A
- C est stable pour .
- Le neutre de . appartient à C

C, sous groupe de A :

Le neutre de +, 0 appartient à A
Je prends x et son inverse, on a bien delta(x-x)=delta(0)=0
L'inverse de x appartient à A car delta(-x)=-delta(x) et si x appartient à A alors -x appartient à A

Donc C est un sous groupe de A

C est stable pour .

x et y appartiennent à C donc delta(xy)=xdelta(y)+delta(x)y=0

Donc C est stable pour .

le neutre 1 appartient bien à C

Donc C est un sous anneau de A

Juste ?

Skops

Posté par
lafol Moderateurre : Algèbre >> Dérivation 02-02-08 à 17:59

juste une remarque : le symétrique pour une loi notée additivement sera appelé opposé, pas inverse, qu'on réserve pour les lois notées multiplicativement

Posté par
Skopsre : Algèbre >> Dérivation 02-02-08 à 18:00

D'accord

Sinon, est ce correct ?

Skops

Posté par
lafol Moderateurre : Algèbre >> Dérivation 02-02-08 à 18:09

Il me semble, oui (mais la rédaction peut être améliorée)

Posté par
Skopsre : Algèbre >> Dérivation 02-02-08 à 18:10

D'accord

Skops

Posté par
lafol Moderateurre : Algèbre >> Dérivation 02-02-08 à 18:11

Je t'abandonne : c'est la chandeleur, il faut que je prépare ma pâte à crèpes

Posté par
Skopsre : Algèbre >> Dérivation 02-02-08 à 18:28

Moi aussi j'y vais
Bonne soirée à toi et bonne crêpe party

Skops

Posté par
Skopsre : Algèbre >> Dérivation 03-02-08 à 17:15

Je voudrais une ptite piste pour la toute toute dernière question

Merci

Skops

Posté par
Skopsre : Algèbre >> Dérivation 04-02-08 à 19:11

Up

Skops

Posté par
Nightmarere : Algèbre >> Dérivation 04-02-08 à 19:16

Salut

Sur quoi bloques-tu ? Sur delta est une dérivation ou delta o delta?

Posté par
Skopsre : Algèbre >> Dérivation 04-02-08 à 19:24

Sur delta o delta

En fait je vois pas ce qui faut montrer


Skops

Posté par
Nightmarere : Algèbre >> Dérivation 04-02-08 à 19:26

3$\rm \delta o \delta est l'application qui à f associe f''

Il s'agit de montrer comme pour delta qu'il vérifie les propriétés des dérivations.

Posté par
Skopsre : Algèbre >> Dérivation 04-02-08 à 19:28

Donc je dis que
delta(f''+g'')=f''+g''=delta o delta(f) + delta o delta(f)

?

Skops

Posté par
Nightmarere : Algèbre >> Dérivation 04-02-08 à 19:33

Euh je n'ai pas compris...

Il s'agit juste de montrer que pour toutes fonctions deux fois dérivables f et g :
dod(f+g)=dod(f)+dod(g) et dod(fg)=fdod(g)+dod(f)g

Posté par
Skopsre : Algèbre >> Dérivation 04-02-08 à 19:42

dod(f+g)=f''+g''=dod(f)+dod(g) ?

Skops

Posté par
Nightmarere : Algèbre >> Dérivation 04-02-08 à 20:13

oui.

Posté par
Skopsre : Algèbre >> Dérivation 04-02-08 à 21:02

Merci

Skops

Posté par
Nightmarere : Algèbre >> Dérivation 04-02-08 à 21:14

Je t'en prie. Bonne soirée

Posté par
Fractalre : Algèbre >> Dérivation 04-02-08 à 22:27

Euh, oui mais non, dod n'est pas une dérivation, vu que dod(fg) = f dod(g) + dod(f) g + d(f)d(g) différent de f dod(g) + dod(f) g
(salut à tous )

Fractal

Posté par
Skopsre : Algèbre >> Dérivation 04-02-08 à 22:46

Salut

D'où vient le d(f)d(g) ?

Skops

Posté par
Nightmarere : Algèbre >> Dérivation 04-02-08 à 22:47

ben dérive (fg)'' tu verras

Posté par
Skopsre : Algèbre >> Dérivation 04-02-08 à 22:49

Ah je m'étais planté en dérivant

Merci

Skops

Posté par
Fractalre : Algèbre >> Dérivation 04-02-08 à 22:51

Euh, voui, d'ailleurs ya un 2 en plus devant je pense ^^

Fractal

Posté par
Nightmarere : Algèbre >> Dérivation 04-02-08 à 22:52

A trop faire d'algèbre linéaire tu en perds ton analyse Guillaume

Posté par
Fractalre : Algèbre >> Dérivation 04-02-08 à 22:54

Euh, mais je fais pas d'algèbre linéaire pour autant
J'ai pas suivi grand chose au cours de ce matin ^^

Fractal

Posté par
Nightmarere : Algèbre >> Dérivation 04-02-08 à 22:55

Oui je te voyais révasser (ton voisin a déteint sur toi ).

Posté par
infophilere : Algèbre >> Dérivation 05-02-08 à 06:43

Citation :
Oui je te voyais révasser (ton voisin a déteint sur toi  ).


Y'a des voisines qui perturbent peut-être


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