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produit scalaire, matrice d'une forme bilinéaire

Posté par
francis_aix 03-02-08 à 12:28

Bonjour à tous !

Soit x=\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)\in\mathbb{R}^4, y=\left(y_1,y_2,y_3,y_4\right)\in\mathbb{R}^4 et la forme bilinéaire \Phi définie par \Phi\left(x,y\right)=x_1\times y_1+2\times x_2\times y_2+4\times x_3\times y_3+18\times x_4\times y_4+x_1\times y_3+x_3\times y_1+2\times x_2\times y_4+2\times x_4\times y_2+6\times x_3\times y_4+6\times x_4\times y_3.

Question 1:

Donner la matrice de la forme bilinéaire \Phi dans la base canonique de \mathbb{R}^4.

J'ai une vague idée de la matrice que je dois trouver.
Il s'agit d'une matrice carrée d'ordre 4.
Je me doute bien qu'elle doit être symétrique puisque que \Phi doit être un produit scalaire.

Je pense que le résultat est le suivant:

Soit A la matrice de la forme bilinéaire \Phi dans la base canonique de \mathbb{R}^4.

A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & 6 \\ 0 & 2 & 6 & 18\end{array}\right)

Est-ce que la matrice est bonne ?
Comment je fais pour calculer \Phi\left(x,y\right) en utilisant la matrice A ?

Question 2:

Montrer que la forme bilinéaire \Phi définit un produit scalaire.

Est-ce suffisante de montrer que la matrice A (si elle est correcte) est symétrique ?
Ou faut-il ausis montrer que \Phi\left(x,x\right)\ge 0 \forall x\in\mathbb{R}^4 et \Phi\left(x,x\right)=0 \Leftrightarrow x=0 ?

Merci d'avance pour votre aide précieuse,
Francis

Posté par
robby3re : produit scalaire, matrice d'une forme bilinéaire 03-02-08 à 12:32

salut,
produit scalaire =forme bilinéaire définie positive

"Une forme à deux variables est dite définie positive si et seulement si son image par deux éléments identiques est toujours positive. Elle est nulle si et seulement si le vecteur est nul. Le produit scalaire est une forme définie positive."

Posté par
robby3re : produit scalaire, matrice d'une forme bilinéaire 03-02-08 à 12:34

la matrice semble bonne selon ce qu'on en voit.
pour avoir phi(x,y) si je me rappelle bien(je suis pas sur du tout faut voir)
tu écris le produit de (x1,x2,x3,x4).A.(y1,y2,y3,y4 en colonne)
(je garantis rien)

Posté par
francis_aixre : produit scalaire, matrice d'une forme bilinéaire 03-02-08 à 12:44

oui ca doit etre qqch comme ca ! faut que je regarde si ca marche !
merci pour la réponse

Posté par
robby3re : produit scalaire, matrice d'une forme bilinéaire 03-02-08 à 12:54

y'a pas de quoi!


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