Il te suffit de prouver que c'est un sous corps de L ce qui est trivial avec les polynomes X-a;X-(a-b);...
Avec a et b dans ton ensemble etetant dans K

Que dois-je faire avec ces polynômes ?

L'utilisation des polynômes d'antoine me semble assez mystérieuse.

Bon pour prouver que c'est un sous-corps suffit de prouver la stabilité par différence et par quotient sachant qu'il y a déjà  K  dans cet ensemble.

Si  a  et  b  sont algébrique  a-b et  a/b  appartiennent à  K(a,b)  il te suffit donc de voir que ce corps est une extension finie de K et c'est facile avec le théorème sur le degré d'extensions composées.

K(a,b)=K[a,b] ici car a et b sont algébriques ?

Lolo217 a raison je n'ai ecrit que des bétises mauvaise lecture du sujet.
Le raisonement de lolo est le bon.

oui  K(a,b)=K[a,b]  ici

mais K(a,b) c'est quoi par rapport à l'ensemble ?

si  a  et  b  sont dans ton ensemble  tu n'a rien à faire de savoir où se trouve  K(a,b) : il te sert à prouver que les élagébriques forment un corps .
(videmment K(a,b)  est alors inclu dans ton ensemble ...à postériori)

Je ne comprends ou veux tu en venir.
Il faut bien que je montre que est un corps inclus dans L et contenant K comme sous-corps ?

Que vient faire K(a,b) ici ?

Bon je détaille encore :
Si tu montres que  K(a,b)  n'est composé que de nombres algébriques alors tu aura que  a-b  et  a/b  sont algébriques quand  a  et  b  le sont . en effet  a-b  et a/b  appartiennent bien à  K(a,b).

Je ne comprend pas ta démarche!
Je n'arrive pas à voir la relation avec l'ensemble dont je veux montrer que c'est une sous-extension.

Je recommence tout :
tu veux prouver que ton ensemble est un corps contenant K . Il est clair qu'il contient K . Pour prouver que c'est un corps tu dois montrer que c'est un sous-groupe et stable par produit et inverse .
ok 1?
Pour sous-groupe il suffit de montrer que la différence de deux éléments reste dans ton ensemble
Pour le reste suffit de voir que si  a et b  sont dedan alors a/b  aussi (b  non nul).
ok 2?
Pour faire ça suffit de prouver que K(a,b) est entièrement inclu dans ton ensemble .
ok 3 ?

Alors avant-tout, moi je vois pas trop pourquoi il est clair qu'il contient K!
Je vois plutot que cette ensemble est inclus dans L. Est-ce vrai?

Sinon ok1, ok2 mais l'histoire de K(a,b) entièrement inclus dans l'ensemble, ne me parle pas du tout!

Bonjour !

bon On reprend tous à zéros alors ^^


appelons M ton ensemble : M est inclu dans L par définition : M c'est "l'ensemble des a appartenant a L telle que ..."
K est inclu dans M car tous les elements de K sont des elements de L est sont algébrique sur K : a est racines du polynome (x-a) qui est à coeficient dans K.

ce qu'il reste à prouver c'est que M est un corps.

si on prend deux element a et b dans M, il est evident que leurs inverse, leur somme et leurs produit sont encore dans L, la difficulté est de montrer qu'ils sont algébrique.

Il faut donc montrer que l'ensemble des elements algébrique sur K forme un corps, ce qu'on peut faire de deux facon différentes :

-construite de facon explicite des polynome anulateur de a+b, a*b et a^(-1) en utilisant des résultants (... mais c'est quand meme mieux de connaitre un peu les résultant pour ca ^^)

-utiliser que l'extension K inclu K[a,b] est une extension finie, donc algébrique donc tous les elements de K[a,b] sont algébrique, en particulier a+b,a*b, et a^(-1) (c'est ce passage qui t'as été détaillé dans les postes précedents )

Ok j'ai compris!
Par contre, on utilise les deux résultats :

.a1,...,an algébrique implique K[a1,...,an] extension finie de K : ici il n'y a qu'une implication, la réciproque est vrai uniquement pour un élément ? (a algébrique équivaut à K[a] extension finie de K ?)

.toute extension finie est algébrique : je ne connais pas la preuve de celle-ci

.toute extension finie est algébrique : je ne connais pas la preuve de celle-ci>>>
si a est un element d'une extension finit de degré n, alors :

1,a,a²....a^n est une famille de n+1 element, elle est donc forcement lié et on a donc une combinaison linéaire à coeficient non tous nul telle que :

bo+b1.a+...+bn*a^n=0, ie a est algébrique !




.a1,...,an algébrique implique K[a1,...,an] extension finie de K : ici il n'y a qu'une implication, la réciproque est vrai uniquement pour un élément ? (a algébrique équivaut à K[a] extension finie de K ?) >>>

si K[a1...an] est fini alors comme K[a1] est inclu dans K[a1...an], K[a1] est finit.

et de toute facon c'est aussi une conséquence du résultat précedent : ai est un element d'une extension finit il est donc algébrique.

Ok pour le premier point :
si on prend L/K une extension finie, a un élément de L: ceci est équivalent à L/K[a] et K[a]/K sont des extensions finies.
en particulier K[a]/K extension finie équivaut à a est algébrique sur K.

ça marche aussi ?

Il m'avait semblé que finie entraîne algébrique avait été fait dans un autre post mais passons,

si  a1, a2  sont algébriques sur  K alors  a2  est algébrique sur K[a1]

donc  K[a1,a2]  est une extension finie de  K[a1]  elle même extension finie de K . D'où  K[a1,a2]  est extension finie de K .

H_aldnoer : Si si il y a équivalence : si K[a1,...an] est finit alors a1 ... an est algébrique puisque K[a1] est inclu dans K[a1...an] est donc aussi une extension finit.

Ok, on procède par récurrence.
Je m'en sors merci!

D'ailleurs on peut aller un peu plus loin :

Si  L/K  est algébrique finie alors il existe  a1,..,an  tels que
  L= K[a1,.,an]

lolo, il faut que l'extension L/K soit finie et algébrique ?

en général oui si  L/K n'est pas algébrique c'est faux et si elle n'est pas finie c'est aussi faux (en toute généralité)

Heu une extension finie est toujours algébrique.

En fait le résultat le plus précis que tu peux avoir à ce sujet est le suivant.
Si L/K est une extension algébrique qui soit une algèbre de type finie alors L/K est finie (et bien sur la réciproque est vraie), c'est simple à prouver dans le cas ou K est indénombrable.

oui bien sûr je me suis emmélé avec le résultat précisé par Rodrigo.

Cela dit pour les extensions finies , c'est facile à prouver.

Je n'ai pas vu ceci dans mon cours.
Puis-je avoir une preuve si elle n'est pas compliquée ?

Aussi je voulais savoir, on peut parler de polynôme minimal dès que l'on a un élément de L algébrique sur K puisqu'alors l'ensemble {F(a)=0, F(X) dans K[X]} est non vide.

C'est bien ça ?

Tu veux une preuve de quoi exactement?

de ceci :

Il faut remplacer finie par de type finie sinon il n'y a rien à faire...

Il n'y a rien à faire, car c'est résultat faux dans ce cas ?
Je ne vois pas la différence entre finie et de type finie.

Non il n'y a rien à faire car le resultat est trivial, si l'on prend a1,..,an base de l'extension alors L=K[a1,...,an]
Un extension L/K est dite finie si elle est de dimension finie.
Une algèbre sur K est dite de type finie si elle est engendré par un nombre fini d'element (i.e) si elle s'ecrit K[a1,...,an]

Le resultat dit que si on a une algèbre de type finie sur K, qui est un corps alors elle est en fait algébrique et du coup finie. Tu veux une preuve?

C'est quoi une algèbre ?
(il me manque trop de notion j'ai l'impression...)

Une algèbre? T'as vraiment jamais entendu parler de ça? C'est une anneau et un espace vectoriel comme par exemple les endomorphismes ou les polynomes.

ben trivial c'est pas rien (pour un étudiant): fallait penser à prendre une base .

Sinon si la caractéristique du corps est 0 tu as L/K finie entraîne L=K(a) mais ça c'est plus long tu verras plus tard.

Non vraiment! Enfin j'ai pas souvenir ...
C'est vrai que je n'étais pas convaincu que ce soit trivial! D'ailleurs c'est pas clair dans ma tête.