Bonjour

Je pense qu'il faut procéder en plusieurs étapes. Déjà :

1) Combien y a-t-il d'application de Xn dans Xp ?

Il y en a : p.p....p = pⁿ avec p dans N*

2) Supposons p <= n et notons S(n,p) le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments en p classes non vide.

Si on considère f une surjection en Xn dans Xp alors P(f) = {f^-1({x}),xXp} est une partition de Xn en p classes non vides. On peut définir la relation d'équivalence :

f R g <=> P(f) = P(g)

C'est une relation d'équivalence sur l'ensemble des surjections de Xn vers Xp

Si f R g , g se différencie de f par une permutation de l'ensemble des valeurs prises sur les éléments de P(f) ( = P(g) ). Chaque classe d'équivalence contient donc p! éléments et il y a S(n,p) classes d'équivalence.

Au final, p!.S(n,p) est le nombre de surjection de Xn sur Xp

3) Si f est une application de Xn dans Xp, f(Xn) est de cardinal k avec 1 <= k <= p.

Il y a pour chaque k, k parmis p parties à k éléments. D'après le 2), il y a k!.S(n,k) applications surjections de Xn vers cet ensemble.

Et en dénombrant les applications, on obtient bien :



Sauf erreurs ...

A+