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approximation de la masse de dirac

Posté par
robby3 22-02-08 à 20:52

Bonsoir tout le monde,je voudrais montrer que la fonction
\rm \large g_{\epsilon}(x)=\frac{1}{\epsilon^n}.g(\frac{x}{\epsilon})=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{n}{2}\epsilon^n}}exp(-\frac{1}{2\epsilon^2}(x_1^2+...+x_n^2))
est une approximation de la masse de dirac dans L_K^1(\R^n,B,dx).

voici ce que j'ai:

On appelle approximation de la masse de dirac dans L_K^1(\R^n,B,dx) tout suite de classe de fonctions \rm (\phi_k)_k \in L_K^1(\R^n,B,dx) de représentant \phi_k(x)>0 pour tout x de \R^n et tout k\le 1

\rm \large \forall k\ge 1 on a ||\phi_k^.(x)||_1=1
et on a pour tout \delta>0
\lim_{k\to \infty}\(\Bigint_{||x||\ge \delta} \phi_k(x)\)=0

Merci d'avance de votre aide

Posté par
robby3re : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 14:49

bon,ça a pas l'air de passionner les foules cet exo

j'essaye par moi meme...
la fonction est clairement positive donc la premier clause est remplie,
je cherche donc à montrer que ||g_{\epsilon}(x)||_1=1
on :
\rm \large ||g_{\epsilon}(x)||_1=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{n}{2}}.\epsilon^n}\Bigint_ |exp(-\frac{2}{\epsilon^2}(x_1^2+...+x_n^2))| dx_1...dx_n

bon déjà,ça se voit va falloir utiliser fubini-Tonnelli
et certainement le fait que \large \Bigint e^{\frac{-x^2}{2}}dx=\sqrt(2\pi)

il faut clairement montrer que \large \Bigint |exp(-\frac{2}{\epsilon^2}(x_1^2+...+x_n^2))|dx_1....dx_n=(2\pi)^{\frac{n}{2}}.\epsilon^n
comme c'est positif,j'enleve les |.|,j'applique Fubini-Tonnelli,puisqu'on sait que chaque \large \Bigint exp(-\frac{2}{\epsilon^2}(x_i^2))dx_i est integrable relativement aux mesures de lebesques respectives dx_i
aprés bah je suis pas trop sur alors avant de marquer trop d'anneries,je prefere avoir votre avis..

Posté par
robby3re : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 15:00

ahh mais peut-etre qu'un petit changement de variable magique du genre\rm u_i\epsilon=x_i,\forall i\in \{1,...,n\} me permettrait de retomber sur mes pattes non?

on a dx=\epsilon.du
donc \large \Bigint exp(-\frac{2}{\epsilon^2}(x_i))dx_i=\Bigint exp(-2.u_i^2) du_i \\
on eput pas s'en sortir avec ça?

Posté par
robby3re : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 15:01

j'ai oublié un carré dans le memebre de gauche au dessus du x_i

Posté par
robby3re : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 15:06

bon je laisse ça en suspend,j'y reviendrais dans la soirée
merci quand meme à ceux qui ont lu
(je sais ça fait peur )

Posté par
robby3re : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 21:19

je suis coincé
ça inspire quelqu'un?

Posté par
kaiser Moderateurre : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 21:32

re robby

Effectivement, ici, il ne faut pas se poser de question : tout est positif donc Fubini-Tonelli (ça marche que le truc soit intégrable ou pas, quitte à obtenir \Large{+\infty}).
Pour la changement de variable, il faut poser ce que tu veux voir apparaître dans ton intégrale.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 21:40

(kaiser, tu peux jeter un oeil à ce que je dis ici stp integrale  exp (-t²) ?)

Posté par
kaiser Moderateurre : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 21:42

H_aldnoer > ce que tu dis est correct.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 21:44

Merci.
(Désolé pour l'incrust robby!)

Posté par
robby3re : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 21:44

Citation :
il faut poser ce que tu veux voir apparaître dans ton intégrale.

>je veux voir apparaitre des \rm \large \Bigint exp(-(u^2)/2)du

je pose u_i=(2x_i)/\epsilon
c'est bon?
ça marche?

j'ai les du_i=\frac{\epsilon}{2}dx_i
ah mais quand je fais tout ça...j'ai un \frac{1}{2^n} en trop

parce que quand je fais le produit:
ça me fais (je sort les \frac{\epsilon}{2})
(\frac{\epsilon}{2})^n.(\sqrt(2\pi))^n

le changement de variable n'est pas bon?

Posté par
kaiser Moderateurre : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 21:50

Avant de continuer, peux-tu vérifier l'expression de ton intégrale ? (dans ton premier message, dans l'exponentielle le 2 est au numérateur et dans les suivants, il est au numérateur).

Kaiser

Posté par
robby3re : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 21:58

ah mince!!!
il est en bas!!

je pose u_i=x_i/\epsilon
y'a plus de probleme
c'est donc ok pour la norme.

je dois maintenant montrer que pour tout \delta>0
\rm \large \lim_{n\to \infty}\(\Bigint_{||x||\ge\delta} g_{\epsilon}(x)\) dx=0
si y'aurais pas le truc en bas de l'intégrale ça irait bien mais là je comprend pas trop ce que je suis censé faire avec le "pour tout \delta>0...||x||\ge \delta
?

Posté par
kaiser Moderateurre : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 22:02

Attention tout de même à la définition : ce n'est pas n qui tend vers l'infini, ça serait plutôt \Large{\varepsilon} qui tend vers 0 parce que c'est lui le paramètre dont dépend la famille de fonctions.

Kaiser

Posté par
robby3re : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 22:07

ahhh,ok
le \epsilon qui tend vers 0...
la limite vaut bien 0...car l'exponentielle l'emporte non?
et avec l'expo ça tend vers 0...
mais mon soucis c'est le truc des ||x||\ge \epsilon

Posté par
kaiser Moderateurre : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 22:18

Attention tout de même : tu es en train d'inverser une limite avec une intégrale, ce qu'il faut justifier.

Kaiser

Posté par
robby3re : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 22:24

ah oui j'avais zappé!

c'est le theoreme de convergence dominée de lebesque?
va falloir trouver une fonction qui domine uniformément g ??


c'est pas gagner encore!

Posté par
kaiser Moderateurre : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 22:27

Je pense qu'un changement de variable s'impose d'abord, afin de faire "disparaître" le \Large{\varepsilon}.

Kaiser

Posté par
robby3re : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 22:32


le \epsilon->0
il faut le transformer pour que le tout tende vers l'infini?
si on pose \alpha=\frac{1}{\epsilon} c'est ok?

Posté par
kaiser Moderateurre : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 22:34

euh..non, je parlais d'un changement de variable vis à vis de l'intégrale.

Kaiser

Posté par
robby3re : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 22:42

je vois pas du tout!!!
en fait Kaiser,si je dis que je prend une suite du genre (\epsilon_k)_k de nombres positifs qui tend vers 0 quand k tend vers l'infini...
on peut pas s'arranger

Posté par
kaiser Moderateurre : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 22:45

Si on ne fait pas de changement de variable, on va vraiment avoir du mal à trouver une dominante intégrable.
Par ailleurs, pour ce fameux changement de variables, il ne faut vraiment pas chercher midi à quatorze heures.

Kaiser

Posté par
robby3re : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 22:50

mais ce changement de variable je dois le faire dans quel but?
parce que là je cherche meme pas midi à quatorze heure!
je récapitule ce qu'on veut faire:
on veut intervertir la limite et l'intégrale...pour cela on a besoin d'utiliser La convergence de lebesque...
et on fait un changement de variable dans le but de pouvoir trouver une fonction dominante plus facilement?

Posté par
kaiser Moderateurre : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 22:53

Tu as bien résumé.

pense au changement de variables que tu as fait plus haut.

Kaiser

Posté par
robby3re : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 22:58

je fais le meme?
je majore en norme par 4$ \frac{1}{(2\pi)^{\frac{n}{2}}.\epsilon^n}??

Posté par
kaiser Moderateurre : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 23:01

justement, lorsque tu fait ce changement de variable, il n'y a plus de epsilon.
Cela dit, si tu majore par ce truc, on ne peut rien dire car ce truc tend vers l'infini.

Kaiser

Posté par
robby3re : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 23:12

j'ai pas g_{\epsilon}(u)=\frac{1}{(1\pi)^{n/2}.\epsilon^n}exp(-\frac{1}{2}u_1^2+..+u_n^2) du_1...d{u_n} ??

Posté par
kaiser Moderateurre : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 23:15

et le jacobien du changement de variables, il est passé où ?

Kaiser

Posté par
robby3re : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 23:18

ah oui!!
effectivement y'a plus de \epsilon...
et donc je majore par le truc que j'ai dit plus haut sans les \epsilon??

Posté par
kaiser Moderateurre : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 23:22

Avant tout, qu'obtiens-tu comme intégrale en effectuant ton changement de variable.

Kaiser

Posté par
robby3re : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 23:28

\rm \large \Bigint_{||u||\ge \frac{\delta}{\epsilon}} \frac{1}{(2\pi)^{n/2}}exp(-\frac{1}{2}(u_1^2+...+u_n^2) )du_1...du_n
????

Posté par
kaiser Moderateurre : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 23:32

toutafé.

maintenant, on peut voir que l'on peut écrire cette intégrale comme celle d'une fonction sur \Large{\mathbb{R}^n} tout entier et ainsi, on peut utiliser la convergence dominée. OK ?

Kaiser

Posté par
robby3re : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 23:34

pourquoi sur R^n??
pour la majoration?

Posté par
kaiser Moderateurre : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 23:36

oui (en mettant une indicatrice).

Kaiser

Posté par
robby3re : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 23:38

ahh!!?
euhh on majore par \large \frac{1}{(2\pi)^{n/2}}.1_{R^n}??

et c'est fini!

Posté par
kaiser Moderateurre : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 23:42

c'est loin d'être intégrable (laisse l'exponentielle où elle est).
Par ailleurs, \Large{\mathbb{1}_{\mathbb{R}^n}=1}.

Kaiser

Posté par
robby3re : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 23:46

bon j'ai pas compris je crois,on fait tout ça pour majorer "facilement"...
donc si je laisse l'exponentielle,on s'en sort plus!!
j'en laisse 1?

|g_{\epsilon}(x)|\le \frac{1}{(2\pi)^{n/2}}exp(-\frac{u^2}{2}) ??

Posté par
kaiser Moderateurre : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 23:49

non, tu laisses toutes les variables !
Quant à la majoration, celle-ci doit se faire indépendamment de epsilon et ici, on arrive bien à le faire.

Kaiser

Posté par
robby3re : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 23:53

mais on a pas
|g(x)|\le \frac{1}{(2\pi)^{n/2}}exp(-\frac{1}{2}(u_1^2+...+u_n^2))

parce que là on a rien fait!
je vois pas du tout à quoi ça sert

Posté par
kaiser Moderateurre : approximation de la masse de dirac 23-02-08 à 23:56

justement si : on a réussi à majorer par un truc intégrable et ce indépendamment de epsilon.
Il reste à voir que \Large{g_\varepsilon} converge presque partout vers 0 lorsque epsilon tend vers 0.

Kaiser

Posté par
robby3re : approximation de la masse de dirac 24-02-08 à 00:01

ah d'accord!!!
ok c'est bon.
convergence dominée,c'est fini.
Merci Kaiser.
Bonne fin de soirée!

Posté par
kaiser Moderateurre : approximation de la masse de dirac 24-02-08 à 00:02

Mais je t'en prie !
Bonne fin de soirée à toi aussi.

Kaiser

Posté par
robby3re : approximation de la masse de dirac 24-02-08 à 00:05

(j'espere te revoir d'ici peu sur l'ile...
Bonne nuit à toi et bonne vacances[je suppose que tu y es )

Posté par
kaiser Moderateurre : approximation de la masse de dirac 24-02-08 à 00:07

ah non pas encore : en fait, je ne suis en vacances que dans une semaine (et entre parenthèses, je n'en ai qu'une ! )

Kaiser

Posté par
robby3re : approximation de la masse de dirac 24-02-08 à 00:11

ah bah mince alors!!
t'es en vacances quand on va passer au rattrapage avec H_aldnoer
ça tombe trop mal!
tant pis!!
Bonne chance pour ta derniere semaine alors et profite bien de tes vacances(meme si j'imagine bien que ce n'est peut-etre pas forcément de vrai vacances )

A bientot donc Kaiser!

Posté par
kaiser Moderateurre : approximation de la masse de dirac 24-02-08 à 00:13

OK !
Bon courage à vous deux !

Kaiser

Posté par
robby3re : approximation de la masse de dirac 24-02-08 à 00:13

Merci y'en aura bien bien besoin!

Posté par
stokastikre : approximation de la masse de dirac 24-02-08 à 09:19


x \mapsto g_{\epsilon}(x) est la densité de n variables aléatoires indépendantes X_1, X_2, \ldots, X_n qui suivent une loi normale centrée et de variance \epsilon^2


=> l'intégrale est égale à 1

=> \int_{||x||>\delta} g_{\epsilon}(x)dx est la probabilité que
la norme du vecteur aléatoire (X_1, X_2, \ldots, X_n) soit plus grande que \delta ; intuitivement, quand la variance \epsilon \to 0, (X_1, X_2, \ldots, X_n) se concentre de plus en plus autour du  0  de \mathbb{R}^n, et cette proba tend vers 0. Ca doit pouvoir se démontrer facilement avec une inégalité genre Tchebychev dans  \mathbb{R}^n ()

Posté par
robby3re : approximation de la masse de dirac 24-02-08 à 11:34

Merci Stokastik!!
effectivement avec les probas...j'avais vu que ça ressemblé un peu mais je m'y suis pas trop risqué


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