Bonjour,

développe avec le binome de Newton pour faire apparaitre des (1-X)^n et X^n.

Merci
Donc on obtient: ((1-X)+X)^(2n-1)=(2n-1   k) (1-X)^k (X)^(2n-1-k) avec k allant de 0 à 2n-1.

Mais ensuite est-ce qu'il faut faire un changement de variable pour obtenir ce que l'on veut? svp

Remarque qu'a chaque terme de la somme soit tu peux factoriser par X^n, soit par (1-X)^n.

J'obtient en factorisant dans le deuxième terme:

                  ((1-X)+X)^(2n-1)=(2n-1   k) (1-X)^k (X)^(n-k) (X)^(n-1)
je cherche pour après...

Je sors X^(n-1)?

Tu sors X^n quand k est inférieur à  n et si k>n bien tu sors le (1-X)^n.

Je suis dsl je n'ai pas compris... Je crois que je n'ai en fait pas compris la forme qu'on devait obtenir à la fin

Tu dois obtenir (1-X)^n Fn+X^nGn=1 avec Fn et Gn de degré plus petit que n-1.*

L'idée est d'utiliser que (1-X+X)^2n-1=1 et en développant on fait apparaitre des termes de la forme (1-X)^n * polynomes de degré <=n-1 et de même avec X^n.

Merci
J'ai encore un problème parceque quand je développe le binôme de Newton j'obtiens (1-X)^k et je ne peut pas factoriser par (1-X)^n ...donc je ne comprends pas

Ecris en détail tu vas voir apparaitre le (1-X)^n, il faut pas factoriser brutalement mais séparer certains termes comme je te l'ai indiqué au dessus.

D'accord merci je vais reessayer

Je ne vois pas comment k peut être plus grand que n

Bien k varie de 0 à 2n-1 non?

ah oui d'accord

On obtient donc d'abord l'addition de deux sommes , une variant de k à n et l'autre variant de n+1 à 2n-1 c'est ça? svp

Oui dans l'une tu factorises par X^n et dans l'autre par (1-X)^n.

Par contre dans celle où je dois factoriser par (1-X)^n il faut que je fasse un changement de variable pour exprimer k en fonction de n et pour que k varit de 0 à n-2 non ?

Non pourquoi, écris la somme clairement terme par terme sur un exemple pour voir comment ca marche.

terme à terme j'obtient (2n-1     n+1)(1-X)^(n+1) X ^(n-2)+.....+(1-X)^(n+n-1) il faut donc écrire:

        (1-X)^n (2n-1    n+1)(1-X)^k (X)^n-1-k avec k allant de 1 à n-1   et donc

            (1-X)^n ((1-X)+X)^(n-1)  c'est cela ?
Dsl si c'est pas très clair

Mais je n'arrive pas à transformer la combinaison ( 2n-1    n+1) et le fait que k commence à 1 je crois que c'est pas bon

La combinaison n'y touche pas c'est juste un coefficient.

Oui donc la tu as bien (1-X)^n * polynome de degré <=n-1.

Tu traites pareil l'autre somme et c'est bon.

Pour l'autre c'est bon elle était plus directe mais comment ça se fait que l'on ait pas besoin de changer la combinaison ? car en cours le prof s'arrange toujours pour retomber sur la formule du polynôme pour pouvoir retrouver le binome de newton ....Et pour le fait que k commence à 1 c'est un problème aussi pour retrouver le binome de Newton ? non

Je comprend pas le problème k varie au départ de 0 à 2n-1 et on sépare en deux sommes pour obtenir le résultat demandé.

Le problème ce n'est pas au début mais lorsqu'on sort (1-X)^n la somme par laquelle elle est multipliée varie de 1 à n-1 pour ce que j'ai trouvé

C'est pas grave, le seul truc important à vérifier c'est que ca te donne bien un polynome de degré <=n-1.

Ah d'accord donc à la toute fin je trouve :

       (1-X)^n ((1-X)+X)^(n-1) + (X)^n ((1-X)+X)^(n-1)=1
Vous croyez que c'est normal si on trouve deux fois le même polynome ?

Euh tes polynomes c'est des sommes je comprend pas ce que tu as fait.

Ah c'est impossible ?
C'est pour  ça que je ne comprenais pas je croyais qu' à la fin on fesait la somme dans l'autre sens donc j'essayai de retrouver le polynôme. Je m'embrouille

Humm dans ton message de 15h36, tu as écrit (1-X)^n * une somme et cette somme c'est le polynome F_n qu'on cherche, Gn c'est la somme sur les autres indices.

Ah donc le polynôme est une somme le résultat de 15:36 était bon ?

Bien il manque l'autre partie, mais on le polynome Fn oui.

ah lorsqu'on sort X^n de la somme après on fait membre à membre ?

Non mais quand k varie de 0 à n-1 tu peux factoriser par X^n comme tu as factorisé par (1-X)^n pour k variant de n à 2n-1.

oui c'est ce que j'avais fais et j'obtenais:

       X^n (2n-1    k)(1-X)^k (X)^(n-1-k)
Et j'avais directement mis que cétait égal à : X^n ((1-X)X)^(n-1) et je crois que c'est là mon erreur

Ah non tu peux pas simplifier comme ça, enfin on te demande pas a priori de simplifier tes polynomes ils existent que demander de plus

il faut donc remplacer k et refaire comme pour l'autre ou je n'ai toujours pas compris

Non mais c'est fini tes polynomes c'est des sommes.

Ah les deux sommes que j'obtiens je les laisse sous forme de somme?

Bien oui c'est des polynomes.

Ah d'accord  donc je laisse sous forme de somme merci beaucoup pour votre aide alors pour cette première question

Excusez moi encore mais dans la suite de l'exercice on me demande d'expliciter F1, F2 et F3 je remplace n par 1 etc dans la somme trouvée précédemment ?

Oui.

j'ai un nouveau problème, dans le post 15:36 si je remplace n par 1 on trouve une combinaison impossible (1   2)donc il y a une erreur...

Dans le cas de n=1 tu as qu'un terme dans chaque somme.

Et donc on ne se sert pas de la combinaison ? J'ai vraiment du mal avec ces sommes je n'ai jamais vraiment tout compris...

Je viens juste de me demandez comment peut- on choirsir ce que vous avez mis au post 14:13?svp

Comment ca comment peut on choisir?

Comment on peut savoir si pour k inferieur a n on sort X^n ou (1-X)^n

On ne sait rien du tout, c'est juste ce qui m'a paru naturel de poser pour trouver la forme voulue.