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Polynôme minimal
Soit p un nombre premier.
et
le corps à q éléments. Soit
et
le polynôme minimal.
1) Que peut-on dire du degré de P ?
Bon je trouve que , et la correction me donne
.
2) Montrer que P est aussi le polynôme minimal de
3) On suppose que P est de degré n, montrer que les racine de P sont alors
par définition il me semble que F_p^n est une extension de F_p de degré n.
F_p^n est un F_p espace vectoriel de dimension n,ile me semble bien.
Voila le corrigé :
le sous-anneau de engendré par a est un sous-corps isomorphe à
qui est isomorphe à
de sorte que
par définition il me semble que F_p^n est une extension de F_p de degré n.
c'est pas une définition, mais oui je suis d'accord.
c'est d'ailleurs ce que j'ai mis!
c'est pas une définition
>il me semble que si,F_p^n est l'extension de F_p(car de caractéristique p) qui a q=p^n élément
j'en reviens à l'exercice...
Fp[X]/P(X) est isomorphe à Fp[a]
et [F_p[a]:F_p]=deg(Irr(a,F_p,X))=deg(P(X))=n
non?
c'est bizarre cet exo!
(si c'est pas une définition comment tu définis F_p^n ??)
Oui je suis parfaitement ok avec toi.
Visiblement leur P(X) par lequel il quotiente n'est pas le polynôme minimal, m'enfin j'espère que quelqu'un va venir nous confirmer.
F_p^n c'est l'ensemble des racines de X^(p^n)-X dans une clôture algébrique de F_p.
Cela ne vient pas de la définition que cette ensemble est une extension de F_p, et que son degré est n. Enfin pour moi ...
Oui je suis parfaitement ok avec toi.
Visiblement leur P(X) par lequel il quotiente n'est pas le polynôme minimal
>Toutafé!!
F_p^n c'est l'ensemble des racines de X^(p^n)-X dans une clôture algébrique de F_p.
Cela ne vient pas de la définition que cette ensemble est une extension de F_p, et que son degré est n. Enfin pour moi ...
>Comme
l'ensemble des racines de X^(p^n)-X dans une clôture algébrique de F_p.
la boucle est bouclée
ouép,bon on est bloqué sur les autres topcis et celui-ci sert un peu à rien vu que l'énoncé semble foireux
je crois que je vais aller faire une sieste!!
A+!
re
Pour ma part, je dirais la même chose que la correction : à savoir que le degré de P divise n et c'est tout (il n'y a aucune raison pour P soit de degré n).
En effet, a est pris quelconque dans l'extension. Ce que tu es en train de dire est que n'importe quel élément non nul possède un polynôme minimal de degré n.
En d'autres termes, je ne suis pas d'accord avec ton message de 21h35, ni avec celui de 21h39.
Kaiser
voici un contre-exemple bête : imagine que n=2 et que a=1 (où n'importe quel élément de ) le polynôme minimal est de degré 1 (il vaut X-a).
Kaiser
Je dispose de la proposition suivante.
Si L/F est une extension finie avec L et F des corps finis, alors il existe un a dans L telle que L=F[a]. Le "a" est le générateur de L*.
J'applique ici cette proposition?
Cette proposition te dit uniquement qu'il "existe a tel que .." et non pas que c'est vrai pour tout a.
Kaiser
On a pour tout polynôme que
.
Donc .
P est un polynôme unitaire, irréductible sur et s'annulant en
donc on
?
Kaiser Bonsoir
j'ai un theoreme qui me dit ceci:
Soit un élément primitif de
avec
cad que engendre le groupe cyclique
.
Soit son polynome irréductible sur
,alors
est de degré
et en particulier
engendre l'extension
de
,donc
est à la fois corps de décomposition de
et corps de rupture de
.
en fait comme ,
engendre l'extension
de
et on a
isomorphe à
donc
est irréductible et de degré
.
c'est pourquoi je medemande ou ça cloche dans mon raisonnement de 21:50?
ça cloche dès le début : au début du théorème, on dit "soit a un élément primitif de " (c'est mal parti car on ne suppose rien sur a).
Kaiser
Si degP=n alors .
On applique le raisonnement de la question 2 :
...
On est capable ainsi de trouver des racines du polynôme P.
Il est de degré n donc il a au plus n.
Pourquoi en a-t-il exactement n ?
Un polynôme de degré n a toujours au plus n racines ?
S'il a plus de racine que son degré, alors il est nul ?
H_aldnoer > essaie de montrer que ces n éléments sont deux à deux distincts.
robby > oui, mais je ne vois pas où tu veux en venir (un tel élément n'est pas forcément un élément primitif).
Kaiser
Un polynôme de degré n a toujours au plus n racines ?
oui
S'il a plus de racine que son degré, alors il est nul ?
oui (où veux-tu en venir ?)
Kaiser
si un élément est dans ça veut pas forcément dire qu'il est primitif?
pourtant est isomorphe à
donc si est dans
non?
Non ce sont juste des questions kaiser t'inquiète pas!
N'a-t-on tout de même pas que a^p=a ? Ou je fais une énorme erreur!
a est dans .
robby > ça implique seulement que son ordre divise q-1 et non pas qu'il est égal et donc, il n'est pas forcément primitif (pense à l'exemple bête de a=1, qui n'est certainement pas primitif). Entre parenthèses, si c'était tout le temps égal, on serait très content (il est très difficile d'exhiber un générateur du groupe multiplicatif).
Kaiser
H_aldnoer > OK !
N'a-t-on tout de même pas que a^p=a ?
Pas nécessairement (il faut pour cela, et c'est équivalent, que a soit dans
Kaiser
un conseil : n'écris pas ce genre de chose (ton prof risque de s'arracher les cheveux).
Plus précisément :
1) pas de puissances fractionnaires (surtout que les éléments que tu manipules ne sont pas des réels).
2) en supposant i inférieur à j, on aurait plutôt
Kaiser
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