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corps de décomposition et carré dans Fq
Posté par robby3
Bonsoir tout le monde,un avant-dernier(jusqu'à longtemps) exo que j'aimerais vous soumettre...
Citation :
soit
un entier,
,sans facteur carré dans 
(et oui H_aldnoer encore une fois!
) ,on note 
la racine carrée positive de dans 
et on considere X^2+(1+a)^2)
1)
a)Montrer que)
est corps de décomposition sur 
du polynome )
.
b)On pose
Démontrer que
et que =Irr(z,Q,X))
le polynome irréductible de 
sur .
2)Soit
premier,
la surjection canonique de sur 
soit![\bar{\pi}:Z[X]\longrightarrow F_p[X]](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\bar{\pi}:Z[X]\longrightarrow F_p[X])
le prolongement canonique de .On pose
![\rm \forall n\in Z,\pi(n)=\bar{n},\forall g(X) \in Z[X],\bar{g}(X)=\bar{\pi}(g(X))](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?\rm \forall n\in Z,\pi(n)=\bar{n},\forall g(X) \in Z[X],\bar{g}(X)=\bar{\pi}(g(X)))
a)pour
,vérifier que )
est réductible dans ![F_2[X]](https://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?F_2[X])
b)Démontrer que pour
, est réductible sur en considérant les cas suivants:
i)
ii) ne divise pas et
ou bien
est un carré dans 
ou bien n'est pas un carré dans et 
est un carré dans ou n'est pas un caré dans .
soit
) ,on note 1)
a)Montrer que
b)On pose
Démontrer que
2)Soit
soit
a)pour
b)Démontrer que pour
i)
ii)
ou bien
ou bien
le soucis,dés le début c'est que ni
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