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u² diagonalisable implique-t-il u diagonalisable?
Bonsoir à tous.
Je suis sur un exercice où on pose E=
n et C=(e1,...,en) la base canonique de E. u est un endomorphisme de E, on me demande si en général (avec n
2) u² est diagonalisable alors on peut dire que u est diagonalisable. Pour cela on me propose de considérer l'endomorphisme u telle que u(e1)=e2 et u(e2)=...=u(en)=0.
J'établis que :
1. u²=0 et donc u² est diagonalisable(0n est diagonale)
2. la matrice du u est celle qui a des 0 partout sauf en position (2,1) où il y a un 1. Je trouve que 0 est la seule valeur propre de u et que ker(u)= {(x1,...,xn)
E / x1=0}=vect(e2...en) et
donc dim(ker(u))=n-1 (toute sous famille d'une famille libre est libre). J'en conclue alors que u n'est pas diagonalisable car u est diagonalisable si et seulement si dimE est égale à la somme des dimension de tous les sous espaces propres de u.
J'aimerais savoir :
1. si mon raisonnement est valable
2. si oui, s'il y a mieux que ça, car j'ai l'impression d'être aller trop loin.
Je vous remercie d'avance.
Bonsoir,
en faisant abstraction de l'indication, si u² est diagonalisable, on a une base sur laquelle on a des coefficients que sur la diagonale, Or tout élément dans C a une racine, u est alors la racine des éléments diagonaux (sauf erreur)
Bonsoir,
oui ton raisonnement est valable et non c'est assez rapide, ici tu as un cas particulier d'un endomorphisme nilpotent(c'est a dire tel que u^k=0 pour un certain k), ceux-ci ne sont jamais diagonalisables via l'argument que tu as donné hormis si u=0.
hatimy, tu contruis une racine carrée à u² et tu dis que c'est u mais il n'y a pas unicité de la racine carrée et il faut identifier u.
mais on a 2^n choix alors non ?
Sinon on peut utiliser le résultat: si u et v commutent alors ils sont diagonalisable dans une même base ...
Bien non je pense pas, regarde par exemple l'équation matricielle X²=0, mettons qu'on raisonne comme tu le fais ci-dessus ceci implique que les seules solutions soit la solution nulle ce qui est clairement faux.
Oui diagonalisable dans une même base, si tu as prouvé qu'elles étaient diagonalisables avant.
D'accord je vois l'erreur où je suis tombé : j'ai parlé de l'existence et non de l'endomorphisme u lui même.
Je change de direction.
u² diagonalisable, donc il y a un annulateur scindé qui l'annule.
j'ai donc quelque chose du type : 
(u²-
i).
Mais pour que ce soit un annulateur a racine simple pour u il faut que 0 ne soit pas racine, ie u inversible.
Ou même dans le cas non inversible le résultat reste exact ?
Maintenant, je me dis que dans le cas diagonalisable-inversible on est sûr d'avoir exactement, 2n racines.
Mais dans le cas diagonalisable-non inversible, quel serait le meilleur résultat qu'on pourrait énoncer là-dessus ?
qu'est ce qu'une tribu? si on te demandais d'expliquer ça de façon élémentaire t'y arriverais ? le prof nous lance ça de temps en temps, et ça m'énerve de même pas savoir de quoi ça parle ...
Tu veux dire si on a A diagonalisable non inversible quel est le nombre de solutions de l'équation X²=A?
Une tribu sur X c'est un ensemble de parties de X stable par complémentaire et par union dénombrable et qui contient l'ensemble X, ca implique la stabilité par intersection dénombrable.
On regarde souvent des tribus engendrées par certaines parties de X, par exemple la tribu engendrée par les ouverts de R.
Ton prof te parle de tribu dans quelles situations?
En effet je parle du nombre de solution de X² = A .
Si mes souvenirs sont bons, on était sur le chapitre des intégrales à paramètres et sur un exercice, il parle de ces tribus ... on y voyait rien ...
Déja si A est nulle ca revient à compter les nilpotents d'ordre 2 et si le corps est infini il y en a une infinité.
ok ok je vois !
Pour revenir à l'histoire des tribus, s'il j'ai un ensemble fini, la seule partie stable serait l'ensemble E tout entier non ?
Comment ca la seule partie stable?
Si t'as un ensemble fini E, et que tu prends une partie X de E, bien par exemple {vide,X,cX,E} bien c'est une tribu sur E.
Sur ce je te laisse bonne nuit 
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