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Polynômes : dérivée seconde/ dérivée première
Bonsoir 
Encore un exo sur les polynômes où je bloque 
Soit . On suppose que
admet pour racines simples
; où
.
J'ai montré que :
Soit . On suppose que
est scindé et admet pour racines simples
; où
.
Montrer que
Je n'ai pas de pistes pour commencer, même s'il faut évidemment se servir de la premmière question 
Des pistes, svp ?
salut gui_tou
Avec la première question, je n'ai pas trouvé de moyen pour répondre à la question mais j'en ai trouvé un autre : décompose en élément simples la fraction rationnelle
Kaiser
Salut Kaiser 
Comment obtenir une expression simple de P" ?
(tu es sûr de vouloir décomposer P" / P et pas P"/P' ? 
)
tu es sûr de vouloir décomposer P" / P et pas P"/P' ?
sûr à 100%, et même à 200 % !
Sinon, ne dérive surtout pas (degré de mochitude élevé !
). Tu as des "trucs" dans le cours qui te permettent de calculer une DES lorsque tu as affaire à des pôles simples, ce qui est le cas ici.
Kaiser
Tu as des "trucs" dans le cours qui te permettent de calculer une DES lorsque tu as affaire à des pôles simples, ce qui est le cas ici.
Non, on n'a pas fait de DES en cours, ni en exos. J'ai un bouquin sous les yeux, je le potasse et je te dis ce que je ne trouverai pas
A peine je poste un message que tu y réponds dans la minute
Dans le sous-chapitre : Partie polaire relative à un pôle / Pôle simple, j'ai
Pour ,
, la partie polaire relative au pôle a est :
Sinon j'ai un autre théorème ...
Soit , de représentant irréductible
,
,
, la décomposition en facteurs
irréductibles de , avec
et
pour
, il existe une unique famille de polynômes
et
,
telle que :
et
A peine je poste un message que tu y réponds dans la minute
Ah, OK !
En fait, j'ouvre plusieurs onglets sous FF et j'actualise assez souvent !
En ce qui concerne les résultats que tu énonces, je fais allusion au premier. Le deuxième n'est rien d'autre que le théorème de la décomposition en éléments simples.
Kaiser
Bon, on a donc
Si j'identifie à mon problème : ,
...
Sans assurance, j'avance : Oh ! On reconnaît la formule à démontrer ^^
Dois-je montrer que : ?
On ne le dira jamais assez, merci de nous consacrer du temps, pauvres taupins désespérés Kaiser
Ta DES est bonne mais il y tout de même un truc à dire :
1) les racines ne sont pas forcément tous des pôles de P"/P. En effet, le fait que P aient des racines simples entraine que P et P' n'ont pas de racines commune mais P et P" peuvent en avoir (ex :
2) Mais alors si a est une racine commune à P et P" dans la DES, la contribution de la racine a est nulle (car alors P"(a)=0)
Dois-je montrer que :
ça voudrait dire que P" est identiquement nulle et donc P est de degré 1, donc non.
indication : il y a du passage à la limite dans l'air.
On ne le dira jamais assez, merci de nous consacrer du temps, pauvres taupins désespérés Kaiser
Mais je t'en prie !
ça me fait plaisir d'aider !
Kaiser
1) les racines ne sont pas forcément tous des pôles de P"/P.
Bien vu ! Mais ça complique les choses, comment sait-on si telle racine est racine de P" ou pas ?
ça voudrait dire que P" est identiquement nulle et donc P est de degré 1, donc non.
Mais oui quel
Je dirais : Si j'ai bien compris cette limite peut être nulle, puisque P"(x_k) peut l'être.
Et donc ?
Bien vu ! Mais ça complique les choses, comment sait-on si telle racine est racine de P" ou pas ?
si on note J l'ensemble des racines de P qui ne sont pas des racines de P", alors la décomposition en éléments simples donne
Mais si a est une racine de P mais n'appartient pas à J, alors on a P"(a)=0 et sa contribution est nulle du coup, ta décomposition en éléments simples est encore valable.
Pour le passage à la limite, deux choses :
1) encore cette histoire d'indéterminée : remplace X par une variable réelle x (faire tendre l'indéterminée vers quelque chose n'a pas de sens)
2) ce n'est pas exactement comme ça que j'envisageais le passage à la limite.
Kaiser
Ok.
si on note J l'ensemble des racines de P
Vi, mais n'est-ce pas la solution de facilité ? Il n'y a donc pas moyen de les connaître exactement ? ^^
1) ok
2)
ce n'est pas exactement comme ça que j'envisageais le passage à la limite.
Je dois passer à la limite dans :
Vi, mais n'est-ce pas la solution de facilité ?
pas vraiment non, simplement une manière de justifier ce que l'on fait.
Je n'ai fait qu'introduire une nouvelle notation ce dont j'ai parfaitement le droit.
Il n'y a donc pas moyen de les connaître exactement ? ^^
a priori, on ne sait absolument rien sur les racines de P, à part le fait qu'elle soient simples.
Pour le passage à la limite : il faut d'abord effectuer une petite manipulation (qui ressemble à ce que tu as fait dans ton message de 20h54).
Kaiser
Nickel.
Pour la limite, je tente de faire apparaître P(x)...
On passe à la limite : mais le
, je me suis planté.
euh non : pour la manipulation, ne pas chercher midi à quatorze heures.
tu as et tu veux avoir
Commet faire "disparaitre" le du dénominateur en utilisant un passage à la limite ?
Kaiser
Muliplie plutôt par x (k est variable et nous, on veut faire disparaitre tous les en même temps).
Kaiser
>_< J'étais en train de me dire qu'il fallait que la limite soit 1, mais j'ai pas du tout pensé à l'infini...
Il faut ajuster le x non ? On a multiplié le numérateur, mais il faut l'ajuster qqpart, peut-être dans le membre en écrivant
.. ?
euh c'est-à-dire ?
On a multiplié la somme par x, donc ça revient à multiplier P"/P par x aussi.
Kaiser
mais k est une variable muette, donc k varie et donc on a la somme des pour k variant entre 1 et n (en rajoutant les racines de P qui sont également racines de P").
Kaiser
est plus juste
Or, P est de degré n, P" de degré n-1, donc P"*x de degré n-1, et la limite vaut 0 ?? Un enthousiasme me gagne doucement là .. :D
Un enthousiasme me gagne doucement là
et tu as bien raison car maintenant tatoubon !
Kaiser
! Kaiser Président !
Eh bien ... Merci Kaiser En plus j'ai l'impression d'avoir compris, c'est sublime J'ai presque envie d'être demain, pour lui rendre la copie :D
La clââsse : je connais le major de l'agreg 
Bonjour, gui_tou et kaiser.
Je propose une autre solution, utilisant le premier résultat.
On remarque d'abord que le premier résultat reste vrai, même si H n'est pas à racines simples, en notant les racines de H, comptées avec leur ordre de multiplicité.
On note les racines de P et
les racines de P' (éventuellement comptées avec leur ordre de multiplicité). On a:
Donc:
Mais je t'en prie !
! Kaiser Président !
la politique, très peu pour moi !
La clââsse : je connais le major de l'agreg
oula, surtout, te fais pas d'illusions ! (rien n'est moins sûr)
Kaiser
Je pense que c'est la méthode attendue par mon prof 
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