Polynômes : dérivée seconde/ dérivée première
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Polynômes : dérivée seconde/ dérivée première
Posté le 02-03-08 à 19:18
Posté par 
gui_tou gui_tou
Bonsoir
Encore un exo sur les polynômes où je bloque
Soit![3$\rm H\in\mathbb{C}[X]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$\rm H\in\mathbb{C}[X])
. On suppose que 
admet pour racines simples 
; où 
.
J'ai montré que :}{H(X)} = \Bigsum_{k=1}^p \fr{1}{X-x_k)
Soit![3$\rm P\in\mathbb{C}[X]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$\rm P\in\mathbb{C}[X])
. On suppose que 
est scindé et admet pour racines simples 
; où 
.
Montrer que}{P'(x_k)}=0)
Je n'ai pas de pistes pour commencer, même s'il faut évidemment se servir de la premmière question
Des pistes, svp ?
gui_tou gui_touBonsoir
Encore un exo sur les polynômes où je bloque
Soit
J'ai montré que :
Soit
Montrer que
Je n'ai pas de pistes pour commencer, même s'il faut évidemment se servir de la premmière question
Des pistes, svp ?
re : Polynômes : dérivée seconde/ dérivée première Posté le 02-03-08 à 19:27
Posté le 02-03-08 à 19:27Posté par kaiser kaiser 
salut gui_tou
Avec la première question, je n'ai pas trouvé de moyen pour répondre à la question mais j'en ai trouvé un autre : décompose en élément simples la fraction rationnelle
Kaiser
kaiser kaiser salut gui_tou
Avec la première question, je n'ai pas trouvé de moyen pour répondre à la question mais j'en ai trouvé un autre : décompose en élément simples la fraction rationnelle
Kaiser
re : Polynômes : dérivée seconde/ dérivée première Posté le 02-03-08 à 19:39
Posté le 02-03-08 à 19:39Posté par gui_tou gui_tou
Salut Kaiser
=\lambda\Bigprod_{k=1}^n(X-x_k))
=\lambda\Bigsum_{i=1}^n.\Bigprod_{k=1\\k\not=i}^n(X-x_k))
Comment obtenir une expression simple de P" ?
(tu es sûr de vouloir décomposer P" / P et pas P"/P' ?
)
gui_tou gui_touSalut Kaiser
Comment obtenir une expression simple de P" ?
(tu es sûr de vouloir décomposer P" / P et pas P"/P' ?
)re : Polynômes : dérivée seconde/ dérivée première Posté le 02-03-08 à 19:42
Posté le 02-03-08 à 19:42Posté par kaiser kaiser
sûr à 100%, et même à 200 % !
Sinon, ne dérive surtout pas (degré de mochitude élevé !
). Tu as des "trucs" dans le cours qui te permettent de calculer une DES lorsque tu as affaire à des pôles simples, ce qui est le cas ici.
Kaiser
kaiser kaiser Citation :
tu es sûr de vouloir décomposer P" / P et pas P"/P' ?
tu es sûr de vouloir décomposer P" / P et pas P"/P' ?
sûr à 100%, et même à 200 % !
Sinon, ne dérive surtout pas (degré de mochitude élevé !
). Tu as des "trucs" dans le cours qui te permettent de calculer une DES lorsque tu as affaire à des pôles simples, ce qui est le cas ici.Kaiser
re : Polynômes : dérivée seconde/ dérivée première Posté le 02-03-08 à 19:44
Posté le 02-03-08 à 19:44Posté par gui_tou gui_tou
Non, on n'a pas fait de DES en cours, ni en exos. J'ai un bouquin sous les yeux, je le potasse et je te dis ce que je ne trouverai pas
gui_tou gui_touCitation :
Tu as des "trucs" dans le cours qui te permettent de calculer une DES lorsque tu as affaire à des pôles simples, ce qui est le cas ici.
Tu as des "trucs" dans le cours qui te permettent de calculer une DES lorsque tu as affaire à des pôles simples, ce qui est le cas ici.
Non, on n'a pas fait de DES en cours, ni en exos. J'ai un bouquin sous les yeux, je le potasse et je te dis ce que je ne trouverai pas
re : Polynômes : dérivée seconde/ dérivée première Posté le 02-03-08 à 20:11
Posté le 02-03-08 à 20:11Posté par gui_tou gui_tou
A peine je poste un message que tu y réponds dans la minute
Dans le sous-chapitre : Partie polaire relative à un pôle / Pôle simple, j'ai
PourQ}=\fr{A}{B)
, \not=0,\;\;A(a)\not=0)
, la partie polaire relative au pôle a est : }{(X-a)B'(a))
Sinon j'ai un autre théorème ...
Soit![F\in\mathbb{K}[X]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?F\in\mathbb{K}[X])
, de représentant irréductible 
, 
, 
, la décomposition en facteurs
irréductibles de
, avec 
et 
pour ![i\in\mathbb{[}1,n\mathbb{]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?i\in\mathbb{[}1,n\mathbb{])
, il existe une unique famille de polynômes 
et 
, ![(i,j)\in\mathbb{[}1,n\mathbb{]}\times\mathbb{[}1,\alpha_i\mathbb{]](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?(i,j)\in\mathbb{[}1,n\mathbb{]}\times\mathbb{[}1,\alpha_i\mathbb{])
telle que :
)
et 
gui_tou gui_touA peine je poste un message que tu y réponds dans la minute
Dans le sous-chapitre : Partie polaire relative à un pôle / Pôle simple, j'ai
Pour
Sinon j'ai un autre théorème ...
Soit
irréductibles de
re : Polynômes : dérivée seconde/ dérivée première Posté le 02-03-08 à 20:15
Posté le 02-03-08 à 20:15Posté par kaiser kaiser
Ah, OK !
En fait, j'ouvre plusieurs onglets sous FF et j'actualise assez souvent !
En ce qui concerne les résultats que tu énonces, je fais allusion au premier. Le deuxième n'est rien d'autre que le théorème de la décomposition en éléments simples.
Kaiser
kaiser kaiser Citation :
A peine je poste un message que tu y réponds dans la minute
A peine je poste un message que tu y réponds dans la minute
Ah, OK !
En fait, j'ouvre plusieurs onglets sous FF et j'actualise assez souvent !
En ce qui concerne les résultats que tu énonces, je fais allusion au premier. Le deuxième n'est rien d'autre que le théorème de la décomposition en éléments simples.
Kaiser
re : Polynômes : dérivée seconde/ dérivée première Posté le 02-03-08 à 20:37
Posté le 02-03-08 à 20:37Posté par gui_tou gui_tou
Bon, on aQ'+Q)
donc =Q(a))
Si j'identifie à mon problème :
, 
...
Sans assurance, j'avance :}{(X-x_k)P'(x_k)})
Oh ! On reconnaît la formule à démontrer ^^
Dois-je montrer que :![3$\rm \forall k\in\mathbb{[}1,n\mathbb{]}, \fr{(X-x_k).P''(X)}{P(X)}=0](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$\rm \forall k\in\mathbb{[}1,n\mathbb{]}, \fr{(X-x_k).P''(X)}{P(X)}=0)
?
On ne le dira jamais assez, merci de nous consacrer du temps, pauvres taupins désespérés Kaiser
gui_tou gui_touBon, on a
Si j'identifie à mon problème :
Sans assurance, j'avance :
Dois-je montrer que :
On ne le dira jamais assez, merci de nous consacrer du temps, pauvres taupins désespérés Kaiser
re : Polynômes : dérivée seconde/ dérivée première Posté le 02-03-08 à 20:48
Posté le 02-03-08 à 20:48Posté par kaiser kaiser
Ta DES est bonne mais il y tout de même un truc à dire :
1) les racines ne sont pas forcément tous des pôles de P"/P. En effet, le fait que P aient des racines simples entraine que P et P' n'ont pas de racines commune mais P et P" peuvent en avoir (ex :
2) Mais alors si a est une racine commune à P et P" dans la DES, la contribution de la racine a est nulle (car alors P"(a)=0)
ça voudrait dire que P" est identiquement nulle et donc P est de degré 1, donc non.
indication : il y a du passage à la limite dans l'air.
Mais je t'en prie !
ça me fait plaisir d'aider !
Kaiser
kaiser kaiser Ta DES est bonne mais il y tout de même un truc à dire :
1) les racines ne sont pas forcément tous des pôles de P"/P. En effet, le fait que P aient des racines simples entraine que P et P' n'ont pas de racines commune mais P et P" peuvent en avoir (ex :
2) Mais alors si a est une racine commune à P et P" dans la DES, la contribution de la racine a est nulle (car alors P"(a)=0)
Citation :
Dois-je montrer que :![3$\rm%20\forall%20k\in\mathbb{[}1,n\mathbb{]},%20\fr{(X-x_k).P''(X)}{P(X)}=0](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$\rm%20\forall%20k\in\mathbb{[}1,n\mathbb{]},%20\fr{(X-x_k).P''(X)}{P(X)}=0)
?
Dois-je montrer que :
ça voudrait dire que P" est identiquement nulle et donc P est de degré 1, donc non.
indication : il y a du passage à la limite dans l'air.
Citation :
On ne le dira jamais assez, merci de nous consacrer du temps, pauvres taupins désespérés Kaiser
On ne le dira jamais assez, merci de nous consacrer du temps, pauvres taupins désespérés Kaiser
Mais je t'en prie !
ça me fait plaisir d'aider !
Kaiser
re : Polynômes : dérivée seconde/ dérivée première Posté le 02-03-08 à 20:54
Posté le 02-03-08 à 20:54Posté par gui_tou gui_tou
Bien vu ! Mais ça complique les choses, comment sait-on si telle racine est racine de P" ou pas ?
Mais oui quel
Je dirais : ![3$\rm\forall%20k\in\mathbb{[}1,n\mathbb{]},%20\lim_{X\to x_k} \fr{(X-x_k).P''(X)}{P(X)}=\fr{P''(x_k)}{P'(x_k)](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?3$\rm\forall%20k\in\mathbb{[}1,n\mathbb{]},%20\lim_{X\to x_k} \fr{(X-x_k).P''(X)}{P(X)}=\fr{P''(x_k)}{P'(x_k))
Si j'ai bien compris cette limite peut être nulle, puisque P"(x_k) peut l'être.
Et donc ?
gui_tou gui_touCitation :
1) les racines ne sont pas forcément tous des pôles de P"/P.
1) les racines ne sont pas forcément tous des pôles de P"/P.
Bien vu ! Mais ça complique les choses, comment sait-on si telle racine est racine de P" ou pas ?
Citation :
ça voudrait dire que P" est identiquement nulle et donc P est de degré 1, donc non.
ça voudrait dire que P" est identiquement nulle et donc P est de degré 1, donc non.
Mais oui quel
Je dirais : Si j'ai bien compris cette limite peut être nulle, puisque P"(x_k) peut l'être.
Et donc ?
re : Polynômes : dérivée seconde/ dérivée première Posté le 02-03-08 à 21:21
Posté le 02-03-08 à 21:21Posté par kaiser kaiser
si on note J l'ensemble des racines de P qui ne sont pas des racines de P", alors la décomposition en éléments simples donne
}{(X-a)P'(a)})
Mais si a est une racine de P mais n'appartient pas à J, alors on a P"(a)=0 et sa contribution est nulle du coup, ta décomposition en éléments simples est encore valable.
Pour le passage à la limite, deux choses :
1) encore cette histoire d'indéterminée : remplace X par une variable réelle x (faire tendre l'indéterminée vers quelque chose n'a pas de sens)
2) ce n'est pas exactement comme ça que j'envisageais le passage à la limite.
Kaiser
kaiser kaiser Citation :
Bien vu ! Mais ça complique les choses, comment sait-on si telle racine est racine de P" ou pas ?
Bien vu ! Mais ça complique les choses, comment sait-on si telle racine est racine de P" ou pas ?
si on note J l'ensemble des racines de P qui ne sont pas des racines de P", alors la décomposition en éléments simples donne
Mais si a est une racine de P mais n'appartient pas à J, alors on a P"(a)=0 et sa contribution est nulle du coup, ta décomposition en éléments simples est encore valable.
Pour le passage à la limite, deux choses :
1) encore cette histoire d'indéterminée : remplace X par une variable réelle x (faire tendre l'indéterminée vers quelque chose n'a pas de sens)
2) ce n'est pas exactement comme ça que j'envisageais le passage à la limite.
Kaiser
re : Polynômes : dérivée seconde/ dérivée première Posté le 02-03-08 à 21:28
Posté le 02-03-08 à 21:28Posté par gui_tou gui_tou
Ok.
Vi, mais n'est-ce pas la solution de facilité ? Il n'y a donc pas moyen de les connaître exactement ? ^^
1) ok
2)
Je dois passer à la limite dans :}{(X-x_k)P'(x_k)})
? On tombera sur du P''' non ?
gui_tou gui_touOk.
Citation :
si on note J l'ensemble des racines de P
si on note J l'ensemble des racines de P
Vi, mais n'est-ce pas la solution de facilité ? Il n'y a donc pas moyen de les connaître exactement ? ^^
1) ok
2)
Citation :
ce n'est pas exactement comme ça que j'envisageais le passage à la limite.
ce n'est pas exactement comme ça que j'envisageais le passage à la limite.
Je dois passer à la limite dans :
re : Polynômes : dérivée seconde/ dérivée première Posté le 02-03-08 à 21:34
Posté le 02-03-08 à 21:34Posté par kaiser kaiser
pas vraiment non, simplement une manière de justifier ce que l'on fait.
Je n'ai fait qu'introduire une nouvelle notation ce dont j'ai parfaitement le droit.
a priori, on ne sait absolument rien sur les racines de P, à part le fait qu'elle soient simples.
Pour le passage à la limite : il faut d'abord effectuer une petite manipulation (qui ressemble à ce que tu as fait dans ton message de 20h54).
Kaiser
kaiser kaiser Citation :
Vi, mais n'est-ce pas la solution de facilité ?
Vi, mais n'est-ce pas la solution de facilité ?
pas vraiment non, simplement une manière de justifier ce que l'on fait.
Je n'ai fait qu'introduire une nouvelle notation ce dont j'ai parfaitement le droit.
Citation :
Il n'y a donc pas moyen de les connaître exactement ? ^^
Il n'y a donc pas moyen de les connaître exactement ? ^^
a priori, on ne sait absolument rien sur les racines de P, à part le fait qu'elle soient simples.
Pour le passage à la limite : il faut d'abord effectuer une petite manipulation (qui ressemble à ce que tu as fait dans ton message de 20h54).
Kaiser
re : Polynômes : dérivée seconde/ dérivée première Posté le 02-03-08 à 21:44
Posté le 02-03-08 à 21:44Posté par gui_tou gui_tou
Nickel.
Pour la limite, je tente de faire apparaître P(x)...
}{(x-x_k)P'(x_k)}=\fr{P(x).P''(x_k)}{P(x)(x-x_k).P'(x_k)}=\fr{P''(x_k)}{P(x).P'(x_k)}.\fr{P(x)}{x-x_k})
On passe à la limite :}{(x-x_k)P'(x_k)}=\fr{P''(x_k)}{P(x_k)})
mais le \to0)
, je me suis planté.
gui_tou gui_touNickel.
Pour la limite, je tente de faire apparaître P(x)...
On passe à la limite :
re : Polynômes : dérivée seconde/ dérivée première Posté le 02-03-08 à 21:48
Posté le 02-03-08 à 21:48Posté par kaiser kaiser
euh non : pour la manipulation, ne pas chercher midi à quatorze heures.
tu as}{(x-x_k)P'(x_k)}})
et tu veux avoir }{P'(x_k)}})
Commet faire "disparaitre" le
du dénominateur en utilisant un passage à la limite ?
Kaiser
kaiser kaiser euh non : pour la manipulation, ne pas chercher midi à quatorze heures.
tu as
Commet faire "disparaitre" le
Kaiser
re : Polynômes : dérivée seconde/ dérivée première Posté le 02-03-08 à 21:53
Posté le 02-03-08 à 21:53Posté par kaiser kaiser
Muliplie plutôt par x (k est variable et nous, on veut faire disparaitre tous les en même temps).
Kaiser
kaiser kaiser Muliplie plutôt par x (k est variable et nous, on veut faire disparaitre tous les
Kaiser
re : Polynômes : dérivée seconde/ dérivée première Posté le 02-03-08 à 21:55
Posté le 02-03-08 à 21:55Posté par gui_tou gui_tou
Ah, je ne vois pas comment en multipliant simplement par x on peut avoir ce que l'on veut
gui_tou gui_touAh, je ne vois pas comment en multipliant simplement par x on peut avoir ce que l'on veut
re : Polynômes : dérivée seconde/ dérivée première Posté le 02-03-08 à 22:12
Posté le 02-03-08 à 22:12Posté par gui_tou gui_tou
>_< J'étais en train de me dire qu'il fallait que la limite soit 1, mais j'ai pas du tout pensé à l'infini...
gui_tou gui_tou>_< J'étais en train de me dire qu'il fallait que la limite soit 1, mais j'ai pas du tout pensé à l'infini...
re : Polynômes : dérivée seconde/ dérivée première Posté le 02-03-08 à 22:16
Posté le 02-03-08 à 22:16Posté par gui_tou gui_tou
Il faut ajuster le x non ? On a multiplié le numérateur, mais il faut l'ajuster qqpart, peut-être dans le membre}{P(x)})
en écrivant }{P(x)})
.. ?
gui_tou gui_touIl faut ajuster le x non ? On a multiplié le numérateur, mais il faut l'ajuster qqpart, peut-être dans le membre
re : Polynômes : dérivée seconde/ dérivée première Posté le 02-03-08 à 22:20
Posté le 02-03-08 à 22:20Posté par kaiser kaiser
euh c'est-à-dire ?
On a multiplié la somme par x, donc ça revient à multiplier P"/P par x aussi.
Kaiser
kaiser kaiser euh c'est-à-dire ?
On a multiplié la somme par x, donc ça revient à multiplier P"/P par x aussi.
Kaiser
re : Polynômes : dérivée seconde/ dérivée première Posté le 02-03-08 à 22:29
Posté le 02-03-08 à 22:29Posté par kaiser kaiser
mais k est une variable muette, donc k varie et donc on a la somme des pour k variant entre 1 et n (en rajoutant les racines de P qui sont également racines de P").
Kaiser
kaiser kaiser mais k est une variable muette, donc k varie et donc on a la somme des
Kaiser
re : Polynômes : dérivée seconde/ dérivée première Posté le 02-03-08 à 22:30
Posté le 02-03-08 à 22:30Posté par gui_tou gui_tou
}{P(x)}=\Bigsum_{k\in J}\fr{P''(x_k)}{P'(x_k)})
est plus juste
Or, P est de degré n, P" de degré n-1, donc P"*x de degré n-1, et la limite vaut 0 ?? Un enthousiasme me gagne doucement là ..
gui_tou gui_touOr, P est de degré n, P" de degré n-1, donc P"*x de degré n-1, et la limite vaut 0 ?? Un enthousiasme me gagne doucement là ..
re : Polynômes : dérivée seconde/ dérivée première Posté le 02-03-08 à 22:32
Posté le 02-03-08 à 22:32Posté par kaiser kaiser
et tu as bien raison car maintenant tatoubon !
Kaiser
kaiser kaiser Citation :
Un enthousiasme me gagne doucement là
Un enthousiasme me gagne doucement là
et tu as bien raison car maintenant tatoubon !
Kaiser
re : Polynômes : dérivée seconde/ dérivée première Posté le 02-03-08 à 22:35
Posté le 02-03-08 à 22:35Posté par gui_tou gui_tou
! Kaiser Président !
Eh bien ... Merci Kaiser En plus j'ai l'impression d'avoir compris, c'est sublime J'ai presque envie d'être demain, pour lui rendre la copie
La clââsse : je connais le major de l'agreg
gui_tou gui_tou ! Kaiser Président ! Eh bien ... Merci Kaiser
En plus j'ai l'impression d'avoir compris, c'est sublime J'ai presque envie d'être demain, pour lui rendre la copie La clââsse : je connais le major de l'agreg
re : Polynômes : dérivée seconde/ dérivée première Posté le 02-03-08 à 22:37
Posté le 02-03-08 à 22:37Posté par perroquet perroquet
Bonjour, gui_tou et kaiser.
Je propose une autre solution, utilisant le premier résultat.
On remarque d'abord que le premier résultat reste vrai, même si H n'est pas à racines simples, en notant
les racines de H, comptées avec leur ordre de multiplicité.
On note les racines de P et 
les racines de P' (éventuellement comptées avec leur ordre de multiplicité). On a:
}{P'(x_k)}=\displaystyle \sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{x_k-y_i})
Donc:
}{P'(x_k)}= \sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{x_k-y_i}= \sum_{i=1}^{n-1}\sum_{k=1}^n\frac{1}{x_k-y_i}=-\sum_{i=1}^{n-1}\frac{P'(y_i)}{P(y_i)}=0)
perroquet perroquetBonjour, gui_tou et kaiser.
Je propose une autre solution, utilisant le premier résultat.
On remarque d'abord que le premier résultat reste vrai, même si H n'est pas à racines simples, en notant
On note
Donc:
re : Polynômes : dérivée seconde/ dérivée première Posté le 02-03-08 à 22:42
Posté le 02-03-08 à 22:42Posté par kaiser kaiser
Mais je t'en prie !
la politique, très peu pour moi !
oula, surtout, te fais pas d'illusions ! (rien n'est moins sûr)
Kaiser
kaiser kaiser Mais je t'en prie !
Citation :
! Kaiser Président !
! Kaiser Président !
la politique, très peu pour moi !
Citation :
La clââsse : je connais le major de l'agreg
La clââsse : je connais le major de l'agreg
oula, surtout, te fais pas d'illusions ! (rien n'est moins sûr)
Kaiser
re : Polynômes : dérivée seconde/ dérivée première Posté le 02-03-08 à 22:44
Posté le 02-03-08 à 22:44Posté par gui_tou gui_tou
Bonsoir perroquet
Je pense que c'est la méthode attendue par mon prof
Vous êtes assez géniaux, j'ai tout compris ...
!! perroquet Premier Ministre !!
gui_tou gui_touBonsoir perroquet
Je pense que c'est la méthode attendue par mon prof Vous êtes assez géniaux, j'ai tout compris ...
!! perroquet Premier Ministre !! 
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