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polynome scindé : mq sa dérivée aussi
bonjour,
je suis actuellement sur cet exo :
Soit P un polynôme de R[X] scindé. Mq P' est scindé.
Pourrait-on identifier le polynome et l'application polynomiale et donc on écrire le polynome P(x)=(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n) avec n >= deg P
ensuite dire que tout polynomes est continue, or celui-ci au plus n fois donc ne pourrait-on pas appliquer le théorème de Rolles ?
merci d'avance
++
Bonjour,
Tu pourrais effectivement raisonner de la façon suivante :
Soit n le degré de P, P est scindé, donc P a n racines, simples ou multiples. Les racines multiples d'ordre p de P sont des racines d'ordre p-1 de P' (facile à montrer). D'autre part, entre deux racines distinctes de P, simples ou multiples, Rolle te dit qu'il y a une racine de P'. Finalement, en faisant "adroitement" le compte des racines de P', tu devrais en trouver n-1.
Par exemple, Soit P d'ordre n avec 3 racines : x1 d'ordre n1, x2 d'ordre n2, x3 d'ordre n3. Donc n1+n2+n3 = n
P' aura 3 racines : x1 d'ordre n1-1, x2 d'ordre n2-1, x3 d'ordre n3-1.
(Si une racine est simple, ni=1, on conviendra que la racine de P' d'ordre ni-1=0 n'existe pas, ça ne change rien au résultat).
P' aura également 2 racines simples, une entre x1 et x2, et une entre x2 et x3.
Finalement, P' aura n1-1 + n2-1 + n3-1 + 2 = n1+n2+n3-1 = n-1 racines.
Donc P'est scindé.
Bonjour, 
ensuite dire que tout polynomes est continue
Depuis quand les polynômes sont des applications de R dans R?
Fais attention: "polynôme" c'est différent de "fonction polynômiale" surtout en algèbre générale.
Un polynôme ce n'est effectivement pas une fonction, mais il y a tout de même une correspondance bijective entre l'ensemble des polynômes sur R et l'ensemble des fonctions de type polynomial de R dans R. Dans ce cas particulier, à mon avis, une petite phrase suffirait pour s'autoriser à passer allègrement de l'un à l'autre 
Evidemment, cela ne serait plus vrai sur des ensembles un peu moins sympathiques que ce bon vieux R, comme des corps de caractéristique différente de 0, ou encore pire de vilains anneaux... 
Bien sûr, mais au moins on sait de quoi on parle. Si on fait des abus de langages autant les préciser.
a oui bien sur je sais que ce n'est pas pareil mais en fait j'ai dit au premier message "polynome est continu" mais je parlais en fait des application polynomiale. dsl
Arf, je parlais des conventions foireuses qu'on prend généralement, ce sont pas vraiment des abus. Typiquement, les convetions "corps=corps commutatif" "polynôme et fonction associée seront confondues"...
J'ai fais un abus de langage. 
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