Autre chose aussi : pourquoi la matrice d'une forme quadratique est symétrique ?

Merci

Regarde en dimension deux. Cela donne, pour x = (x₁ , x₂)

q(x) = a.x₁² + 2b.x₁x₂ + c.x₂²

Salut fusionfroide

eh bien si, il apparait des carrés : lorsque i=j.

Bref, Pour calculer b(x,x), il faut prendre X le vecteur colonne des coordonées de x dans la base B, et calculer .

Tu te retrouves exactement avec ton expression.

Pour une approche plus naturelle : pour tout i et j, on sait que , donc il reste à développer par bilinéarité



Kaiser
P.S : je poste un exemple dans mon prochain message

Bonjour Raymond,

Je vais essayé

Une forme quadratique q est issue d'une forme bilinéaire symétrique f : q(x) = f(x,x).

Or, pour avoir la symétrie de f, il faut une matrice symétrique.

Salut

Sans le cas général, si :

et



Donc :



Et il suffit de poser  m_i,j = b(e_i,e_j)

Ok ?

Par exemple, si tu as q(x) = 2.x1² + 6.x1.x2 + 8.x2²

Tu as la matraice de q dans la base B est :

2  3
3  8

essayer

oups trop tard !

Dis donc, ça se bouscule pour répondre !

Salut à tous !

En effet, merci à tous

Juste une chose : comment voit-on que ?

Comme lyonnais, il faut le poser ?

fusionfroide > c'est la définition de la matrice d'une forme quadratique. Comment vous l'avez défini dans le cours ?

Kaiser

kaiser >> justement le hic c'est que je n'ai jamais fait de cours là-dessus !

Sur le cours ouebbe que j'ai, on dit que q est une forme quadratique de E si :

1) pour tout a scalaire et tout x dans E, q(ax)=a²q(x)

2) b(x,y)=q(x+y)-q(x)-q(y) est bilinéaire

Oups j'ai oublié un 1/2 en facteur

fusionfroide > OK, dans ce cas, je te confirme que c'est une définition :

Si est une base, alors la matrice de la forme quadratique q est la matrice de terme général où b est la forme bilinéaire symétrique associée à q (on dit "la", car à une forme quadratique, on peut lui associer une unique forme bilinéaire symétrique, et réciproquement).

Kaiser

Très bien, merci kaiser !

Et à raymond ainsi qu'à lyonnais

Pour ma part, je t'en prie !

Re bonsoir

Juste une chose : dans la méthode que donne lyonnais, on développe b(x,y) avec et

Je me demandais si on pouvait calculer directement b(x,x) ?

Je ne pense pas car dans ce cas si on obtient des carrés...

Merci

Bonsoir

Désolé, je ne comprends pas vraiment ta question.

Kaiser

Bonjour fusionfroide.
Oui tu peux calculer B(x,x) directement et tu obtiens exactement l'expression de Lyonnais.
Ton erreur vient du fait que tu mets le même indice à tes deux sommes, ce que l'on ne peut faire QUE lorsqu'on ajoute deux sommes !