Re,

C'est un grand classique. Je l'ai traité en exo, les outils utilisés sont élémentaires (mais l'idée de la démo est vraiment bien cherchée même si simple). On parle d'idéaux par contre (idéaux maximaux pour être précis).

Salut Schumi !

Si tu as le temps, peux-tu juste m'indiquer les grandes étapes ?

Merci

Je peux même te refiler l'énoncé. Attends, je te le tape.

Cool gracias !

1) Montrer que si est un anneau euclidien il existe un élément de non inversible tel que la restriction du morphisme naturel à l'ensemble soit surjective.

2) Dans toute la suite de l'exercice désignera . Déterminer le groupe des inversibles de .

3) En remarquant que vérifie , prouve que n'est pas euclidien.

4) Maintenant on montre qu'il est principal. On considère la norme . Montrer qu'il existe une "pseudo division" euclidienne sur A au sens suivant: si et , il existe vérifiant les deux conditions suivantes:
i. r=0 ou N(r)<N(b)
ii. a=bq+r ou 2a=bq+r
(c'est un peu le même principe que pour Z[i] sauf que ce dernier est euclidien ce qui facilite la démo dans le cas de Z[i]).

5) Déduire de la question précédente que est principal.

Merci Schumi, c'est très sympa de ta part !

De rien.
Ce n'est pas tellement la preuve de la "non euclidiennité" qui est compliquée ici. C'est plutôt celle de la principalité qui pose problème.
J'ai oublié de le préciser d'ailleurs: pour la 5) utilise le fait (2) est un idéal maximal de après l'avoir démontré sure.

Re,

J'aimerai juste traiter les questions 2 et 3

Nous n'avons pas encore traité en cours des exos du type question 2

Je sais simplement que pour A corps commutatif,

C'est cela qu'il faut utiliser ici ?
Merci

Bah je ne pense que ça puisse servir car Z n'est pas un corps...

Juste pour la méthode

Ok si tu veux (mais tu rates tout le coeur du problème dans ce cas ).
Euh comme tu dis, ça n'a rien a voir avec le fait que (A[X])*=A*.

Simple curiosité:
Comment définis-tu ?

En général pour déterminer les inversibles d'un anneau définis par une extension de Z, on utilise une norme. Ici c'est un peu plus délicat mais...

En fait, c'est pas vraiment une norme mais l'idée c'est de créer une fonction qui permet de caractériser facilement tous les inversibles. (Dans les cas les plus faciles c'est un truc du genre "z inversible ==> f(z)=1") Après on s'amuse à trouver tous ceux qui vérifient cette propriété et on élimine ceux qui ne sont pas inversible.

Re,

J'aimerai bien un coup de main pour la question 2 de l'exo de Ayoub

Merci

Avec plaisir FF.

Comme je te l'avais dit la fois dernière, l'idée c'et d'utiliser une sorte de "norme" (une fonction si te mot fait peur) qui permet de caractériser facilement les inversibles de l'anneau.
En général, on prend .
Ici aussi ça marche avec lui.

Nain dix: Commence par montrer que N est a valeur entières (positives) pour notre anneau puis montre que si un élément x de A est inversible alors N(x)=1.