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Autour de Parseval

   
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re : Autour de Parseval#msg1742303 Posté le 18-03-08 à 20:51
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Les hypothèses de Fubini sont vérifiés?
re : Autour de Parseval#msg1742332 Posté le 18-03-08 à 21:01
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

oui (mais regarde ça de plus près pour t'en convaincre).

Kaiser
re : Autour de Parseval#msg1742339 Posté le 18-03-08 à 21:03
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Justement je voudrais le regarder de plus près, mais je ne vois pas quoi faire.
Montrer que les suites en jeu dans le produit scalaire sont de normes finis ?
re : Autour de Parseval#msg1742349 Posté le 18-03-08 à 21:06
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Non, il faut se convaincre que la double somme

\Large\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)e(l)f(k)|

est finie.

Kaiser
re : Autour de Parseval#msg1742358 Posté le 18-03-08 à 21:12
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)e(l)f(k)|=\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)f(k)|\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|(l)| Par Fubini-Tonnelli?
re : Autour de Parseval#msg1742368 Posté le 18-03-08 à 21:14
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

tu ne peux pas écrire ça : h(l-2k) doit être dans la somme sur l, pas en dehors.


Kaiser
re : Autour de Parseval#msg1742387 Posté le 18-03-08 à 21:21
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Plutôt \Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)e(l)f(k)|=\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)|\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)e(l)|
re : Autour de Parseval#msg1742402 Posté le 18-03-08 à 21:27
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

on a \Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)||e(l)|=\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)|^{\frac{1}{2}}|h(l-2k)|^{\frac{1}{2}}|e(l)|\le \Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)|\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)||e(l)|^2

?
re : Autour de Parseval#msg1742487 Posté le 18-03-08 à 21:59
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Désolé, j'ai dû m'absenté.

Sinon, ce que tu écris est correct.

Kaiser
re : Autour de Parseval#msg1742492 Posté le 18-03-08 à 22:00
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Aucun souci!
Peut on encore majorer \Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)|\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)||e(l)|^2 ?
re : Autour de Parseval#msg1742495 Posté le 18-03-08 à 22:01
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Il y a déjà ||h||_1^2 devant.
re : Autour de Parseval#msg1742498 Posté le 18-03-08 à 22:01
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

la première somme peut se majorer par \Large{||h||_1}.
Ensuite, il reste à sommer sur k.

Kaiser
re : Autour de Parseval#msg1742507 Posté le 18-03-08 à 22:04
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

J'en suis à :
\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)|\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)e(l)|\le \Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)|\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)|\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)||e(l)|^2

et
\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)|\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)|\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)||e(l)|^2=||h||_1^2\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)|\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)||e(l)|^2
re : Autour de Parseval#msg1742515 Posté le 18-03-08 à 22:08
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

C'est presque ça : c'est seulement \Large{||h||_1} (sans le carré).

Ensuite ?
Kaiser
re : Autour de Parseval#msg1742519 Posté le 18-03-08 à 22:09
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Oui!
Puis :
\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)|\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)||e(l)|^2=\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|f(k)||h(l-2k)||e(l)|^2=\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|e(l)|^2\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)||h(l-2k)| ?
re : Autour de Parseval#msg1742520 Posté le 18-03-08 à 22:10
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Fubini-Tonnelli?
re : Autour de Parseval#msg1742529 Posté le 18-03-08 à 22:12
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

oui, ça marche avec Fubini-Tonelli.

Ensuite ?

Kaiser
re : Autour de Parseval#msg1742530 Posté le 18-03-08 à 22:13
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Je ne vois pas que faire de \Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)||h(l-2k)|
re : Autour de Parseval#msg1742538 Posté le 18-03-08 à 22:15
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Cauchy-Schwarz.

Kaiser
re : Autour de Parseval#msg1742553 Posté le 18-03-08 à 22:18
Posté par ProfilTigweg Tigweg Correcteur

Bonsoir vous deux!

KAiser->
Citation :
re : Autour de Parseval
profil de kaiserposté par : modérateur kaiser (Modérateur)
Cauchy-Schwarz.

Kaiser


C'est pas très précis, lequel s'applique?
re : Autour de Parseval#msg1742556 Posté le 18-03-08 à 22:19
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)||h(l-2k)|=\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)||h(l-2k)|^{\frac{1}{2}}|h(l-2k)|^{\frac{1}{2}}\le\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)|^2|h(l-2k)|\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)| ?
re : Autour de Parseval#msg1742559 Posté le 18-03-08 à 22:20
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Citation :
C'est pas très précis, lequel s'applique?

Y'a eu un bug d'énoncé
re : Autour de Parseval#msg1742567 Posté le 18-03-08 à 22:22
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Salut Tigweg

euh pas compris ! (j'ai une excuse : il est tard ! )

Kaiser
re : Autour de Parseval#msg1742569 Posté le 18-03-08 à 22:23
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

H_aldnoer >

non pas comme ça : applique Cauchy-Scwarz avec pour séparer f(k) et h(2k-l).

Kaiser
re : Autour de Parseval#msg1742570 Posté le 18-03-08 à 22:25
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

plutôt comme ça alors \Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)||h(l-2k)|=\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)|^{\frac{1}{2}}|f(k)|^{\frac{1}{2}}|h(l-2k)|\le\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)|\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)||h(l-2k)|^2
re : Autour de Parseval#msg1742577 Posté le 18-03-08 à 22:27
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

non plus : quand je dis "séparer", je veux dire que f(k) et h(2k-l) apparaissent dans des sommes distinctes.

Kaiser
re : Autour de Parseval#msg1742578 Posté le 18-03-08 à 22:29
Posté par ProfilTigweg Tigweg Correcteur

Kaiser->Ta réponse de 22h15 était:

Citation :
Cauchy-Schwarz.

Kaiser


Du coup c'est imprécis, tu cites deux trucs différents qui ont chacun beaucoup de chances de marcher!
re : Autour de Parseval#msg1742579 Posté le 18-03-08 à 22:30
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

avec la racine \Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)||h(l-2k)|\le\sqrt{\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)|^2}\sqrt{\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)|^2} ?
re : Autour de Parseval#msg1742581 Posté le 18-03-08 à 22:30
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

attention, y'a un bug : à chaque fois que tu as utilisé Cauchy Schwarz (y compris lorsque tu as montré la continuité de R), tu as oublié des racines carrées.

Kaiser
re : Autour de Parseval#msg1742583 Posté le 18-03-08 à 22:32
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

OK, Tigweg !
re : Autour de Parseval#msg1742585 Posté le 18-03-08 à 22:33
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

H_aldnoer > oui
re : Autour de Parseval#msg1742587 Posté le 18-03-08 à 22:35
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Et donc?
Je suis perdu!
re : Autour de Parseval#msg1742593 Posté le 18-03-08 à 22:37
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

On a obtenu \Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|e(l)|^2\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)||h(l-2k)|\le\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|e(l)|^2\sqrt{\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)|^2}\sqrt{\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)|^2}
re : Autour de Parseval#msg1742597 Posté le 18-03-08 à 22:39
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

la deuxième est inférieure à la \Large{||h||_2}, qui est finie.

Du coup, la somme double de départ, est inférieure à \Large{||e||_2|||f||_2||h||_2}, donc la double somme est finie et on peut donc intervertir.

Kaiser
re : Autour de Parseval#msg1742598 Posté le 18-03-08 à 22:39
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Soit :
\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}|f(k)|\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)e(l)|\le ||e||_2^2||f||_2||h||_2||h||_1
re : Autour de Parseval#msg1742599 Posté le 18-03-08 à 22:40
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Je me suis trompé ?
re : Autour de Parseval#msg1742600 Posté le 18-03-08 à 22:40
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

message de 22h37 : comme dit plus haut, il manque une racine carrée (reparcourt tout ce topic pour voir où tu as appliqué Cauchy-Schwarz pour corriger).

Kaiser
re : Autour de Parseval#msg1742601 Posté le 18-03-08 à 22:41
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

attends deux secondes.

Kaiser
re : Autour de Parseval#msg1742611 Posté le 18-03-08 à 22:46
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Je refais le calcul sur papier il s'agit bien de majorer
\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)e(l)f(k)|

?
re : Autour de Parseval#msg1742617 Posté le 18-03-08 à 22:52
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

oui (mais fais bien attention aux racines carrées qui apparaissent en appliquant Cauchy-Schwarz).

Cela dit, on peut justifier la finitude de cette somme par un argument simple (mais on va quand même essayer de montrer ça en procédant à des majorations).

Kaiser
re : Autour de Parseval#msg1742619 Posté le 18-03-08 à 22:53
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

c'est donc : \Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)|^{\frac{1}{2}}|h(l-2k)|^{\frac{1}{2}}|e(l)|\le\sqrt{\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)|}\sqrt{\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)||e(l)|^2}
re : Autour de Parseval#msg1742622 Posté le 18-03-08 à 22:55
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

là, c'est correct

Kaiser
re : Autour de Parseval#msg1742625 Posté le 18-03-08 à 22:56
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

\sqrt{\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)|}=||h||_1^{\frac{1}{2}} ?
re : Autour de Parseval#msg1742630 Posté le 18-03-08 à 22:58
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

oui.

Kaiser
re : Autour de Parseval#msg1742632 Posté le 18-03-08 à 22:59
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Puis on majore \Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)||e(l)|^2 ?
re : Autour de Parseval#msg1742642 Posté le 18-03-08 à 23:06
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

En fait, je ne suis pas sûr que ça va marcher comme ça.
je te conseille de faire Cauchy-Schwarz en voyant la doubler somme comme une seule somme (sur \Large{\mathbb{Z}^2}).

Kaiser
re : Autour de Parseval#msg1742648 Posté le 18-03-08 à 23:07
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

Je galère sur papier!
Je pense pas que ça marche.

Comment ça sur \mathbb{Z}^2 ?
re : Autour de Parseval#msg1742655 Posté le 18-03-08 à 23:12
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Ecris cette somme sous la forme :

\Large{\Bigsum_{(k,l)\in \mathbb{Z}^2}|h(l-2k)f(k)e(l)|}

ça c'est Fubini.

En effet, intégrer une "fonction" positive sur \Large{\mathbb{Z}} puis sur \Large{\mathbb{Z}}, chacun d'entre muni de la mesure de dénombrement c'est la même chose qu'intégrer sur \Large{\mathbb{Z}^2} , lui-même muni de sa propre mesure de dénombrement.
Ensuite, Cauchy-Schwarz.

Kaiser
re : Autour de Parseval#msg1742657 Posté le 18-03-08 à 23:14
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Citation :
ça c'est Fubini.


Fubini-Tonelli, bien entendu.

Kaiser
re : Autour de Parseval#msg1742659 Posté le 18-03-08 à 23:15
Posté par ProfilH_aldnoer H_aldnoer

\Large{\Bigsum_{(k,l)\in%20\mathbb{Z}^2}|h(l-2k)f(k)e(l)|}=\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)e(l)f(k)| ?

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