Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques

1 2 3 4 +

Niveau autre
Partager :

Autour de Parseval

Posté par
H_aldnoer 15-03-08 à 01:39

Bonsoir.

Voici l'énoncé d'un exercice dont je ne comprend rien!
Exprimez, e=(e(k))_k étant un élément de l^2(\mathbb{Z}), en fonction de m_0 et de \widehat{e} le spectre de la suite R^*[e].

Que faut-il faire exactement ?
Qu'est-ce qu'un spectre ?

Posté par
ottore : Autour de Parseval 15-03-08 à 02:53

Bonjour,
effectivement ce n'est pas clair.
m_0 on sait pas ce que c'est.
Le chapeau est probablement la transformée de Fourier.
R*[e] on ne sait pas trop ce que c'est.
Le spectre de x est l'ensemble des éléments u tels que x-u.1 ne soit pas inversible.

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 16-03-08 à 11:38

Il est dit que le spectre de R^*[e] est la limite dans L^2_{\mathbb{C}}(\mathbb{T}) de la suite des classes de fonctions w\to \Bigsum_{k=-N}^{N}(R^*[e])_ke^{-ikw}.
Mais je ne vois pas du tout ce que cela signifie.

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 16-03-08 à 12:14

Sans certitude aucune :
(R^*[e])_k=\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}e_lh(k-2l)

Je ne vois pas d'où toute ces relations viennent!

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 16-03-08 à 12:15

.

Autour de Parseval

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 16-03-08 à 12:16

re

et h, tu ne saurais pas ce que c'est ?

autre chose : où as-tu trouvé cet exo ?

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 16-03-08 à 12:22

C'est les exercices que mon prof posent sur un serveur propre à notre université, il faut donc un identifiant pour se connecter!
h je ne vois pas ce qu'il vient faire ici.

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 16-03-08 à 12:33

En fait, je crois que ça me dit quelque chose ces notations. Est-ce que les fonctions de Haar te disent quelque chose (tu as dû peut-être du voir ça quand vous vous intéressiez à des exemples de bases hilbertiennes) ? Pour ma part, j'avais vu ce genre de choses mais je ne sais plus exactement comment ça marche, alors j'ai regardé ton poly et je suis tombé sur cette fameuse fonction h (page 6) et ça me semble bien être ces fonctions de Haar.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 16-03-08 à 12:40

J'ai envoyé un message à mon prof à l'instant, j'attends sa réponse.

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 16-03-08 à 12:41

OK.

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 17-03-08 à 10:03

Reprenons, il manques une partit :
Soit (h(0),...,h(M)) une suite de nombres réels (que l'on prolonge par 0 pour en faire une suite indexée par \mathbb{Z}) et :

m_0 : w\to \Bigsum_{k=0}^Mh(k)e^{ikw}

le polynôme trigonométrique correspondant (m_0 est donc la transformée de Fourier du filtre digital de réponse impulsionnelle la suite indexée par \mathbb{Z}

(...,0,...,0,...,\overb{h(0)}^0,...,\overb{h(M)}^M,0,...)

L'opération R qui à un signal d'entrée (e(k))_{k\in\mathbb{Z}} de l^2_{\mathbb{C}}(\mathbb{Z}) associe le signal (s(k))_{k\in\mathbb{Z}}\in l^2_{\mathbb{C}}(\mathbb{Z}) défini par s(k)=\Bigsum_{l}h(l-2k)e(l) pour k\in\mathbb{Z}

Vérifiez que (s(k))_{k\in\mathbb{Z}}\in l^2_{\mathbb{C}}(\mathbb{Z})
Vérifiez que R est un filtre stationnaire cad un opérateur linéaire continu de l^2_{\mathbb{C}}(\mathbb{Z}) dans l^2_{\mathbb{C}}(\mathbb{Z}) invariant par translation.
Décrire l'opération R^* adjointe de l'opération R.

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 17-03-08 à 10:03

Je ne saisi pas ce que le prof entend par :
"que l'on prolonge par 0 pour en faire une suite indexée par \mathbb{Z}"

?

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 17-03-08 à 10:22

Ensuite j'ai :
\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}} |s(k)|^2\le ||h||_1^2||e||_2^2

Puisque (e(k))_{k\in\mathbb{Z}} est dans l^2_{\mathbb{C}}(\mathbb{Z}), on a ||e||_2^2<+\infty.
Mais je ne vois pas pourquoi ||h||_1^2<+\infty ??

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 17-03-08 à 10:53

Ensuite :
Il faut montrer que R : l^2_{\mathbb{C}}(\mathbb{Z}) \to l^2_{\mathbb{C}}(\mathbb{Z}) est une application \mathbb{C}-linéaire continue du \mathbb{C}-espace de Hilbert l^2_{\mathbb{C}}(\mathbb{Z}) dans lui même.

Pour la linéarité :
R[(e(k))_k+(f(k))_k]=\Bigsum_{l}h(l-2k)[e(l)+f(l)]=\Bigsum_{l}h(l-2k)e(l)+h(l-2k)f(l)=\Bigsum_{l}h(l-2k)e(l)+\Bigsum_{l}h(l-2k)f(l)=R[(e(k))_k]+R[(f(k))_k] (on peut "couper" la somme ?)
R[a(e(k))_k]=\Bigsum_{l}h(l-2k)[ae(l)]=a\Bigsum_{l}h(l-2k)[e(l)]=aR[(e(k))_k] si a est un complexe.

On a bien la linéarité.
Mais pour la continuité ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 17-03-08 à 18:23

salut

Citation :
Je ne saisi pas ce que le prof entend par :
"que l'on prolonge par 0 pour en faire une suite indexée par " \Large{\mathbb{Z}} ?


ça veut dire que l'on considère h comme une suite indicée par \Large{\mathbb{Z}} en posant \Large{h(k)=0} lorsque k est un entier relatif différent de 0,1,2 ...M.

Citation :
Mais je ne vois pas pourquoi ||h||_1^2%3C+\infty


parce que c'est une somme finie (tous les termes de ma somme sont nuls sauf un nombre fini)

Citation :
(on peut "couper" la somme ?)


oui, car les deux sommes convergent séparément.
Citation :
Mais pour la continuité ?


voir ton message de 10h22

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 17-03-08 à 18:30

Citation :
parce que c'est une somme finie (tous les termes de ma somme sont nuls sauf un nombre fini)


Je ne saisi toujours pas!

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 17-03-08 à 18:34

\Large{||h||_{2}^{2}=\Bigsum_{k\in \mathbb{Z}}|h(k)|^{2}=\Bigsum_{k=0}^{M}|h(k)|^{2}}

car h(k)=0 dès que k n'est pas un entier naturel compris entre 0 et M.

Mais cette dernière somme ne comporte qu'un nombre fini de termes, donc cette somme est \Large{ ||h||_{2}^{2} < +\infty}.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 17-03-08 à 18:51

Ok!
Les deux sommes convergent ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 17-03-08 à 18:52

quelles sommes ?

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 17-03-08 à 18:56

\Bigsum_{l}h(l-2k)e(l)
et
\Bigsum_{l}h(l-2k)f(l)

?

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 17-03-08 à 19:29

je faisais allusion au fait que l'on "coupe" les sommes.

\Bigsum_{l}h(l-2k)e(l)+h(l-2k)f(l)=\Bigsum_{l}h(l-2k)e(l)+\Bigsum_{l}h(l-2k)f(l)

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 17-03-08 à 19:31

ouin car ce sont aussi des sommes finies : en effet, pour k fixé, h(l-2k)=0 si l-2k n'est pas un entier compris entre 0 et M (les entiers l tels que l-2k est un entier compris entre 0 et M sont en nombre fini).

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 17-03-08 à 19:34

Donc c'est ainsi qu'est défini h ?
On regarde :
-si 0\le l-2k\le M dans ce cas h(l-2k)\neq 0.
-sinon, h(l-2k)=0.

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 17-03-08 à 19:40

Citation :
Donc c'est ainsi qu'est défini h ?


voir mon message de 18h34

Sinon, pour ce que tu écris, c'est presque ça : lorsque h(l-2k) n'est pas forcément non nul lorsque l-2k est compris entre 0 et M. On sait seulement que h est nulle ailleurs.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 17-03-08 à 19:43

Mais comment sait on qu'il y a un nombre fini de tel entiers ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 17-03-08 à 19:46

En résolvant la double inéquation : l-2k est compris entre 0 et M si et seulement si l est compris entre 2k et M+2k. À k fixé, il n'y a qu'un nombre fini de tels entiers.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 17-03-08 à 19:52

Ok.

Ce qui implique alors que les sommes \Bigsum_{l}h(l-2k)e(l) et \Bigsum_{l}h(l-2k)f(l) sont finies.
Ce sont des sommes finies donc convergentes, on regarde l'absolue convergence ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 17-03-08 à 20:02

pas besoin, elle le sont automatiquement : on somme encore un nombre fini de termes non nuls, donc c'est clairement asbolument convergent

Kaiser.

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 17-03-08 à 20:08

Je n'arrive pas à le voir directement kaiser!
Il faut étudier :
\Bigsum_{l\in\mathbb{Z}}|h(l-2k)||e(l)| ??

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 17-03-08 à 20:40

oui (ensuite, c'est le même argument : dans la somme, les seuls termes qui sont non nuls sont des termes d'ordre l avec l-2k entre 0 et M et de tels entiers sont en nombre fini).

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 17-03-08 à 20:47

Ok!
Par contre j'ai obtenu \Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}%20|s(k)|^2\le%20||h||_1^2||e||_2^2 en utilisant Cauchy-Schwarz, Fubini-Tonelli et l'invariance par translation de la mesure de décompte.

C'est bien ||h||_1^2 et non ||h||_2^2 ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 17-03-08 à 20:52

Tout est OK.

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 17-03-08 à 20:57

Pour montrer que ||h||_1^2<\infty on regarde :
\Bigsum_{k\in\mathbb{Z}} |h(k)|=\Bigsum_{k=0}^M |h(k)|

Il y a un nombre fini de termes dans la somme, d'où le résultat.

Ce qui implique que \Bigsum_{k\in\mathbb{Z}}%20|s(k)|^2<\infty et donc que ||s||_2^2<\infty et donc que s\in l_{\mathbb{C}}^2(\mathbb{Z})

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 17-03-08 à 21:14

oui

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 17-03-08 à 21:21

Ensuite, pour R on a la linéarité mais en ce qui concerne la continuité, je ne vois pas comment procéder ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 17-03-08 à 21:25

comme précisé plus haut, regarde ton message de 10h22 :

R est une application linéaire de \Large{\mathcal{l}^2_{\mathbb{C}}(\mathbb{Z}}) dans \Large{\mathcal{l}^2_{\mathbb{C}}(\mathbb{Z}}) et tu as montré que tout e, \Large{||R(e)||_{2}\le ||h||_1||e||_2}
donc ...

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 17-03-08 à 21:29

Il existe une constante C=||h||_1>0 telle que ||R(e)||_2\le C||e||_2 donc R est continue de norme au plus C ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 17-03-08 à 21:32

toutafé ! Sauf qu'ici, h peut être nulle, donc C aussi (mais bon, on n'est pas obligé d'imposer la constante nulle pour avoir la continuité).

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 17-03-08 à 21:35

Ah donc C\ge 0 c'est bon aussi ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 17-03-08 à 21:35

oui

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 17-03-08 à 21:38

Ok.
Qu'entend-t-on par invariant par translation ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 17-03-08 à 21:47

Je pense que ça veut dire ça :

La translation est l'opération linéaire qui à une suite \Large{(e(l))_{l\in \mathbb{Z}}} associe la suite \Large{(f(l))_{l\in \mathbb{Z}}} telle que pour tout entier l, \Large{f_l=e_{l-1}}. Notons \Large{\tau} cette opération de translation, alors il faut montrer que pour tout suite e, on a :

\Large{R(\tau(e))=R(e)}

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 17-03-08 à 21:50

kaiser, je viens de voir dans le cours quelque chose qui s'y rapproche :


peux tu y jeter un œil?

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 17-03-08 à 21:50

Page 61

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 17-03-08 à 21:50

Quand il dit :
"L'importance de cette opération tient surtout ..."

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 17-03-08 à 21:57

OK, je me suis trompé : en fait, la terminologie est un peu malheureuse mais on devrait plutôt dire que r commute avec les translations.

Avec les notations de mon message précédent, l'invariance par translation signifie plutôt :

\Large{R(\tau^{k_0}(e))=\tau^{k_0}(R(e))} pour tout entier \Large{k_0} : on se rend compte rapidement qu'il suffit de le montrer pour \Large{k_0=1}, c'est-à-dire : \Large{R(\tau(e))=\tau(R(e))}

Kaiser
P.S : je dois m'absenter pendant un peu plus d'une demi-heure. Je reviendrai ensuite, si tu es encore là.

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 17-03-08 à 22:03

Je serais ici, à toute!

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 17-03-08 à 22:18

peux tu m'expliquer l'équivalence avec le cours stp je ne la vois pas ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Autour de Parseval 17-03-08 à 22:48

c'est-à-dire ?

Kaiser

Posté par
H_aldnoerre : Autour de Parseval 17-03-08 à 22:57

Dans le cours on prend \mathcal{L} : l^1_{K}(\mathbb{Z}) \to l^1_{K}(\mathbb{Z}) \\ s\to h \star s avec h=\mathcal{L}[e_0] et e_0=(\delta_{0,k})_{k\in\mathbb{Z}}.

Ici c'est R qui semble jouer ce rôle sauf que l'on travail sur l^2_{\mathbb{C}}(\mathbb{Z}) ?

1 2 3 4 +


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !