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[TIPE] Clôture algébrique

Posté par
infophile 15-03-08 à 22:31

Bonsoir

Je commence à lire le livre Corps commutatifs et théorie de Galois de Patrice Tauvel pour mon T.I.P.E sur les équations résolubles par radicaux.

Dans le chapitre qui leurs sont réservées, première phrase :

Citation :
Dans tout le chapitre 3$ \rm \stackrel{\sim}{k} désigne une clôture algébrique de 3$ \rm k


Alors wiki me dit qu'une clôture algébrique d'un corps 3$ \rm k est une extension algébrique de 3$ \rm k qui est algébriquement close.

Ok donc nouvelle question : qu'est-ce qu'une extension de corps ? C'est un couple 3$ \rm (K,j) où 3$ \rm K est un corps et 3$ \rm j un homomorphisme d'anneau de 3$ \rm k dans 3$ \rm K

Ensuite il est marqué 3$ \rm Ker(j)\neq k puisque 3$ \rm j(1_k)=1_K, ça ok puisqu'on a exhibé un élément de 3$ \rm k dont l'image par 3$ \rm j n'est pas 0 et donc n'appartient pas au noyau.

Puis on trouve l'affirmation suivante :

Citation :
3$ \rm Ker(j) étant un idéal de 3$ \rm k il est égal à 3$ \rm \{0\} ou 3$ \rm k


Comme ce n'est pas démontré je voudrais savoir si ce que j'ai fait est juste (je viens de voir la définition d'un idéal) :

Citation :
Démonstration :

3$ \rm Ker(j) est non vide puisqu'il contient 0. Soit 3$ \rm (x_1,x_2)\in Ker(j)^2 on a 3$ \rm j(x_1-x_2)=j(x_1)-j(x_2)=0 donc 3$ \rm x_1-x_2\in Ker(j) et donc 3$ \rm Ker(j) est un sous groupe additif de 3$ \rm k.

Soit 3$ \rm (a,x)\in k\times Ker(j) on a 3$ \rm j(a.x)=j(a).j(x)=0 car 3$ \rm j(x)=0 et donc 3$ \rm a.x\in Ker(j) de même 3$ \rm x.a\in Ker(j)


Merci

J'aurai surement des tas de questions au fur et à mesure.

Posté par
romure : [TIPE] Clôture algébrique 15-03-08 à 22:39

salut,

il me semble que tu as montré que Ker(j) est un idéal, mais tu n'as pas montré que  ker(j)={0} ou k.

Posté par
romure : [TIPE] Clôture algébrique 15-03-08 à 22:40

En fait tu peux montrer maintenant un résultat plus général: "k est un corps ssi ses seuls idéaux sont {0} et k".

Posté par
infophilere : [TIPE] Clôture algébrique 15-03-08 à 22:42

Bonsoir romu

D'accord je vais essayer, je suppose qu'il faut utiliser le fait que tous les éléments de 3$ \rm k sont inversibles..

Je poste dès que je trouve quelque chose.

Posté par
Tigweg Correcteurre : [TIPE] Clôture algébrique 15-03-08 à 22:44

Salut vous deux!
Je m'apprêtais à répondre mais j'ai vu que tu avais dit les mêmes choses en substance romu!

Posté par
romure : [TIPE] Clôture algébrique 15-03-08 à 22:51

salut tigweg (ces copies, ça avance? )


>> infophile: oui essentiellement

Posté par
Tigweg Correcteurre : [TIPE] Clôture algébrique 15-03-08 à 23:02

Citation :
(ces copies, ça avance? )


J'aurai la même réponse que toi: ->romu: non esentiellement

(A vrai dire, j'ai même pas commencé!)

Posté par
infophilere : [TIPE] Clôture algébrique 15-03-08 à 23:04

Salut Greg

Bon je pense avoir trouvé :

Citation :
Démonstration :

Soit 3$ \rm x\in Ker(j)\backslash \{0\} alors puisqu'on baigne dans le corps 3$ \rm k cet élément est inversible d'inverse notons 3$ \rm x^{-1}\in k.

Puisque 3$ \rm Ker(j) est un idéal alors 3$ \rm x.x^{-1}\in Ker(j) ie 3$ \rm 1_k\in Ker(j).

Mézalor en réutilisant la propriété d'idéal on aurait 3$ \rm \forall a\in k, a.1_k=a\in Ker(j) d'où 3$ \rm Ker(j)=k.

Et si 3$ \rm x=0 alors le noyau est réduit à 0


Du coup c'est cool puisqu'on a montré que 3$ \rm Ker(j)\neq k alors on a 3$ \rm Ker(j)=\{0\} et donc 3$ \rm j injective.

Right ?

Posté par
romure : [TIPE] Clôture algébrique 15-03-08 à 23:11

right!

Posté par
romure : [TIPE] Clôture algébrique 15-03-08 à 23:12

Citation :
(A vrai dire, j'ai même pas commencé!)


je te comprends, ça doit être redondant

Posté par
Tigweg Correcteurre : [TIPE] Clôture algébrique 15-03-08 à 23:17

Kevin->Tu veux dire :"Si Ker j est non réduit à 0, alors il existe x non nul dans Ker j etc...donc Ker j=k ?

Ta démo est valable pour tout idéeal I d'un corps, bien entendu

Dis donc on commence à sentir l'influence de la prépa sur toi: "Mézalor" c'est typique!


romu->

Citation :
ça doit être redondant

Pour rester poli!
C'est aussi très sommaire et pas du tout rigoureux, le plus souvent...

Posté par
infophilere : [TIPE] Clôture algébrique 15-03-08 à 23:19

Ensuite il conclut :

Citation :
On peut donc identifier 3$ \rm k à son image 3$ \rm j(k) dans 3$ \rm K. On dit alors que 3$ \rm K est une extension de 3$ \rm k si 3$ \rm k est un sous-corps de 3$ \rm K et on note 3$ \rm k\subset K. Il est alors clair qu'ils ont même caractéristique.


Je n'ai pas bien compris le lien entre le sous-corps et l'injectivité, vous pouvez m'expliquer ?

Posté par
infophilere : [TIPE] Clôture algébrique 15-03-08 à 23:20

Oui c'est ce que je voulais dire Greg

Oui j'ai piqué l'expression à un prof de prépa

Posté par
Tigweg Correcteurre : [TIPE] Clôture algébrique 15-03-08 à 23:23

Quand un ensemble E est inclus dans un ensemble F, il y a injectivité (triviale!) de l'application identité de E dans F.

Mais réciproquement, si E et F sont deux ensembles tels qu'il existe une injection j de E dans F, alors E est en bijection avec le sous-ensemble j(E) de F.

On peut alors considérer que E est lui-même un sous-ensemble de F.
Dans notre cas, j est de plus un morphisme ce qui garantit le transport des structures d'anneau.

Posté par
Tigweg Correcteurre : [TIPE] Clôture algébrique 15-03-08 à 23:25

et même de corps!

C'est pas Xavier Merlin, l'auteur de l'inénarrable "cuisine aux épices" qui emploie cette expression?

Posté par
infophilere : [TIPE] Clôture algébrique 15-03-08 à 23:27

D'accord merci

J'avance dans ma lecture, je vous resollicite plus tard

Posté par
Tigweg Correcteurre : [TIPE] Clôture algébrique 15-03-08 à 23:30

Pas de quoi!

Posté par
infophilere : [TIPE] Clôture algébrique 15-03-08 à 23:39

Définitions :

Citation :
Une extension est dîte algébrique si tous les éléments sont algébriques sur K c'est-à-dire sont racines d'un polynôme non nul à coefficients dans K.


Citation :
un corps K est dit algébriquement clos si tout polynôme de degré supérieur ou égal à un, à coefficients dans K, admet (au moins) une racine dans K.


Bon ça reste du vocabulaire mais je pense que je peux m'en contenter pour comprendre ce qu'est une clôture algébrique pour le moment.

Et voilà une ligne du chapitre de traitée

Posté par
Tigweg Correcteurre : [TIPE] Clôture algébrique 15-03-08 à 23:40



Et une ligne de plus en moins!!
Courage, Kevin, t'y es presque!

Posté par
robby3re : [TIPE] Clôture algébrique 15-03-08 à 23:48

Bonsoir tout le monde
je me trompe ou le sujet de T.I.P.E d'infophile est l'un des vastes sujets de recherches des algébristes à l'heure actuel?
En tout cas,sujet extremement interressant!
Bonne chance!

Posté par
infophilere : [TIPE] Clôture algébrique 15-03-08 à 23:50

C'est assez décourageant de voir toutes les notions qu'ils se cachent derrière ce chapitre, j'ai l'impression que je n'en verrai jamais le bout

Citation :
Définition :

Soit 3$ \rm F=(P_i)_{i\in I} une famille de polynômes non constants de 3$ \rm k[X], on appelle corps de décomposition de 3$ \rm F toute extension 3$ \rm K de 3$ \rm k vérifiant :

(i) Pour tout 3$ \rm i\in I le polynôme 3$ \rm P_i est scindé (peut s'écrire comme produit de polynôme du premier degré).

(ii) Si 3$ \rm R_i désigne l'ensemble des racines de 3$ \rm P_i dans 3$ \rm K et 3$ \rm R=\Bigcup_{i\in I}R_i on a 3$ \rm K=k(R)


Désolé j'enrichis le topic pour mieux m'organiser et pas devoir rechercher dans le livre à chaque fois (déjà qu'il est blindé de marques pages )

Posté par
robby3re : [TIPE] Clôture algébrique 15-03-08 à 23:53

(pour de faire une idée plus rapide,le corps de décomposition d'un polynome sur un corps K,c'est tu prend ton corps K,les racines de ton polynome,tu "les mets dedans"

et voilà

Posté par
infophilere : [TIPE] Clôture algébrique 15-03-08 à 23:54

romu > Oui je me suis toujours demandé pourquoi à partir du degré 5 on ne pouvait plus résoudre par radicaux, mais j'ai peur d'avoir encore un trop faible niveau en algèbre pour comprendre la démonstration cette année Intéressant oui, mais ma prof m'a dit que j'allais en baver

Posté par
romure : [TIPE] Clôture algébrique 15-03-08 à 23:56

je crois que tu voulais t'adresser plutôt à robby (je sais même pas ce que c'est un radical )

Posté par
Tigweg Correcteurre : [TIPE] Clôture algébrique 15-03-08 à 23:59

Toutes ces notions constituent le programme de Bac+3 - Bac+4 en Algèbre Kevin!
C'est normal de ne pas tout assimiler du premier coup!

Mais tu vas être obligé de faire de la théorie de Galois si tu veux raconter des choses intéressantes!
Tu es sûr de vouloir garder ce sujet?
C'est pas pour te décourager, mais c'est vraiment du costaud et ça demande beaucoup de temps de réflexion!

Posté par
robby3re : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 00:01

c'est clair que ça à l'air long pour avoir le temps de le faire correctement en prepa...mais c'est vachement interressant!!:D
Enfin,moi je trouve...
Aprés je pense que si t'aime bien ce que tu lit...tu pourras y revenir dans quelques années,quand tu ne seras pas presser par le temps...

Posté par
infophilere : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 00:02

Oups oui robby pardon

Je ne comprends pas trop la notation 3$ \rm k(R) ?

Le corps de décomposition d'un polynôme à coefficients dans 3$ \rm k c'est donc le corps 3$ \rm k auquel on "ajoute" les racines du polynôme ?

Posté par
Tigweg Correcteurre : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 00:03

Oui, "moralement" c'est ça!

Posté par
robby3re : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 00:05

oui c'est bien ça
K(R)...
prend X^3-2 sur Q
son corps de décomposition c'est Q(racine cubique de 2,j)
ou j est exp(2ikpi/3)
...
je sais pas si c'est un exemple parlant...

Posté par
infophilere : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 00:05

Greg > Oui je veux garder ce sujet quand même, je pourrais le bosser correctement cet été au pire (enfin si je peux garder le même sujet pour l'an prochain sinon c'est pas la peine ). Et puis ça ne peut me faire que progresser en algèbre c'est pas plus mal

Posté par
robby3re : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 00:06

j=exp(2i.pi/3) bien sur

Posté par
robby3re : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 00:07

Citation :
Et puis ça ne peut me faire que progresser en algèbre c'est pas plus mal

>ça c'est certains(mais je suis pas sure que t'en ai besoin  

Citation :
si je peux garder le même sujet pour l'an prochain

>j'ai un gros doute là-dessus!

Posté par
infophilere : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 00:10

robby > 3$ \rm j est racine du polynôme que tu cites ?

Pour le sujet de TIPE, Fractal m'a dit qu'il pouvait garder le même lui, si c'est pas mon cas alors je vais être jaloux

Posté par
Tigweg Correcteurre : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 00:16

Kevin->Attention, on ne rajoute pas que les racines, mais plein d'autres choses puisqu'on veut récupérer un corps!

Ainsi 2^{\frac 13} et j2^{\frac 13} étant racines du polynôme, leur quotient j sera aussi dans le corps de décomosition.

Tu dois le rendre quand ce mémoire?Et il y a une soutenance?

Posté par
robby3re : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 00:17

ah bon,je croyais qu'on pouvait pas...
pour l'exemple que j'ai cité...c'est pas trés explicite...
en fait le crops de décomposition complet est 6$ Q[^3\sqrt 2,{\epsilon_{3}} {^3\sqrt 2},{\epsilon_{3}^2} {^3\sqrt 2}]=Q[^3\sqrt 2,\epsilon_3] \\
mais bon,je sais pas si ça t'aide...

Posté par
robby3re : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 00:19

j'ai pris cet exemple parce que c'est un classique pas trop dure à comprendre mais bon pas trop dure quand on a vu toutes les choses avant...brut comme ça aprés avoir lu le tauvel
ça peut paraitre affreux...
J'espere que ça t'aura pas effrayé!
Parce que c'est vraiment cool
Je vous laisse!
Bonne nuit et bonne chance Kévin!

Posté par
infophilere : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 00:21

D'accord Greg je trouvais bizarre aussi d'ajouter des éléments sans se préoccuper de la structure, c'est plus clair maintenant avec ton explication et l'exemple de robby

Je ne sais même pas quand est-ce qu'on passe nos TIPE, et c'est quoi une soutenance ?

Posté par
infophilere : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 00:22

Bonne nuit robby et merci

Posté par
Tigweg Correcteurre : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 00:24

Bonne nuit robby

Mais si, c'est très clair ce que tu racontes!


Kevin->Une soutenance?
C'est quand tu présentes oralement ton travail devant le jury avec ou sans public

Posté par
infophilere : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 00:27

Donc oui il y aura une soutenance (et accessoirement souffrances )

Fractal vient de me préciser qu'on peut garder le même sujet uniquement pour les ENS mais qu'il faut respecter le thème imposé pour le tétraconcours.

Posté par
Tigweg Correcteurre : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 00:29

Le tétraconcours?
Quézaco?!

Posté par
Tigweg Correcteurre : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 00:39

Bonne nuit Kevin, je vais
Bonnes recherches si tu continues!

Tigweg

Posté par
infophilere : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 00:40

Je viens de l'apprendre

Je cite Fractal :

Citation :
c'est tout ce qui est ni X ni ENS, l'épreuve de TIPE est regroupée pour tous les autres concours

Posté par
infophilere : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 00:40

Bonne nuit Greg et merci

Posté par
infophilere : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 01:27

Juste pour justifié que le polynôme de robby est bien scindé :

3$ \rm X^3-2=(X-\sqrt[3]{2})\(X+\sqrt[3]{2}\frac{1+i\sqrt{3}}{2}\)\(X+\sqrt[3]{2}\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\)

Posté par
Ksilverre : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 01:37

J'ai souvent entendu dire qu'il etait possible de prouver que certaine equation de degré 5 etait non résoluble sans faire toute la théorie de Galois (historiquement, c'est ce qu'a du faire Abel). mais ceci dit ca serait vraiment domage (ca restreint la démonstration à un calcule assez compliqué) alors que la théorie de Galois donne un critère "simple" pour savoir si une certain equation est ou non résoluble par radicaux.

Honetement je pense que la preuve est accesible en prépa, mais il faudrat beaucoup travailler, (je connais meme qqn qui à effectivement fait cela en Tipe l'ans dernier).

sinon pour la culture voici (de facon un peu heuristique) le schéma du raisonement de Galois :

on prend un polynome P, et on va étudier son corps de décomposition, c'est à dire le corps engendré par ses racines dans C. (c'est le plus petit corps contenant ces racines... ou tous simplement l'ensemble des polynomes en ces racines). l'idée est de caractériser la résolubilité de P par son corps de décomposition : dire que P est résoluble ca veux dire qu'on peut-trouver une suite de sous corps telle que Q inclu dans K1 inclu dans K2... inclu dans Kn, avec Kn le corps de décomposition de P, et qua chaque fois, Ki+1 est le corps engendré par Ki est par une racine n-iemme d'un element de Ki (est ce que tu comprend pourquoi ? ca signifie moralement qu'on va pouvoir construire les racines à partir de nombre rationel en faisant que des opérations de corps et prenant des racines n-ieme...)

Apres il y a le "gros" théorème de Galois qui dit essentiellement ceci, on apelle le groupe de Galois de K l'ensemble  des morphisme de corps de K->K (note qu'un morphsime de corps est toujour injectif, et comme K est de dimension finit sur Q il sera aussi surjectif, donc c'est bien un groupe...). Alors le théorème de Galois dit dans un certain sens que Les sous corps de K sont relié au sous groupe de son groupe de Galois. ainsi la suite de sous corps dont j'ai parlé plus haut va etre rélié à une suite de sous groupe du groupe de Galois.

à partir de la on prend un polynome P, on calcule son groupe de Galois (enfin le groupe de Galois de son corps de décomposition... qui est un groupe finit... si P est un polynome "géneral", ce groupe est d'ailleur le groupe des permutation Sn, ou n est le degré de P) et on regarde si ce groupe possède ou non une suite de sous groupe qui vérifie les bonne propriété (on dit que le groupe est résoluble si il possède une telle suite de sous groupe...). si  une telle suite existe l'equation est résoluble (et en travaillant un peu on peut meme retrouver la suite de sous corps qui va bien et donc donner les racines de l'equations...), si elle n'existe pas, l'equation n'est pas résoluble !

En gros tu va devoir :
-assimiler la théorie des corps et les bases de théorie de Galois (ce que tu es entrain de faire)
-Prouver le théorème de correspondance de Galois (c'est long...)
-faire de la théorie des groupes (sous groupe distingué, groupe quotient, groupe simple et groupe résoluble) pour comprendre ce qu'est un groupe résoluble et pourquoi S5 n'en est pas un !


Enfin en tous cas tous ceci est vraiment de la tres belle algèbre. (d'ailleur, c'est pour cela que l'algèbre à été inventé ! )

Enfin je te souhaite bon courage... et une bonne lecture ^^

Posté par
infophilere : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 02:09

Salut Ksilver

Merci pour le topo, tu as très bien vulgarisé j'ai compris le fond !

J'étais justement en train de regarder rapidement les groupes de Galois, et ils sont définis comment l'ensemble des isomorphismes de K dans K effectivement. J'essayerai de voir demain pourquoi on a l'injectivité et la surjectivité comme tu l'as fait remarquer.

Bon je vais songer à dormir maintenant ^^

Posté par
1 Schumi 1re : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 08:24

Salut tout le monde,

Qu'est ce que je regrette d'être aller me coucher tôt hier soir...

Juste quelques remarques d'ordre pratique (Greg, Romuald, robby et Ksilver ont déjà tout fait).

Pour les extensions de corps: Te prends pas ma tête avec ces définitions bizarres! Honnêtement, j'en connais quasiment aucune correctement, ça m'empêche pas de travailler dessus. Ce qui importe le plus c'est de "voir" ce qui se passe. Bref, une extension d'un corps k, c'est un corps K que tu as construit à partir de k en ajoutant des éléments (éventuellement une infinité c'est pas gênant).

Pour les corps de décomposition: Ben c'est le "corps des racines de ton polynôme" ou si tu préfères le plus petit corps sur lequel P est scindé. Tu prends ton corps k (généralement k=Q) et tu ajoutes toutes les racines.
Là où ça va coincer (tkt, tu vas bientôt t'en apercevoir) c'est que quand tu travailles dans un corps quelconque tu ne connais pas les racines en question (tu peux pas les calculer) et donc ben ...

Et pour finir:

Citation :
ils sont définis comment l'ensemble des isomorphismes de K dans K effectivement

Je crois aussi que tu as vu cette définition "rapidement" (sic!).
Non parce que si le groupe de Galois de l'extension ne dépend pas de l'extension, je vois pas trop l'interêt.

Posté par
1 Schumi 1re : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 08:29

T'avances drôlement vite dis-donc: passer des clotures algébriques au groupe de Galois en une soirée! Chapeau bas Kéké!
Tu vas devenir un monstre en algèbre.

Posté par
1 Schumi 1re : [TIPE] Clôture algébrique 16-03-08 à 08:37

Désolé pour ces messages non regroupé mais encore une remarque:

Citation :
J'ai souvent entendu dire qu'il etait possible de prouver que certaine equation de degré 5 etait non résoluble sans faire toute la théorie de Galois

You're right! Voici une de ces vilaines bebêtes.
Le polynôme \rm P(X)=X^5-10X+5 de \rm\mathbb{Q}[X]  n'est pas résoluble par radicaux.

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