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Niveau Maths sup
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espaces vecoriels

Posté par
machin
24-03-08 à 21:33

bonjour,
voici un petit exercice:
E est un espace vecoriel de dimension finie, et f et g sont deux endomorphismes sur E.
supposons que : E=ker(f)+ker(g)=Im(f)+Im(g).
Montrons que ces sommes sont directes.
je vous remercie

Posté par
Tigweg Correcteur
re : espaces vecoriels 24-03-08 à 21:45

Bonjour

Applique deux fois la formule dim(A+B)=... puis additionne ces égalités membre à membre et applique le théorème du rang.

On obtient:

4$\dim(\ker(f)\bigcap\ker(g))\;+\;\dim(Im(f)\bigcap Im(g))=0

d'où la conclusion

Posté par
blang
re : espaces vecoriels 24-03-08 à 21:46

Bonsoir,

On a donc : dim(E)=dim(ker(f))+dim(ker(g))-dim(ker(f)ker(g))
et : dim(E)=rg(f)+rg(g)-dim(Im(f)Im(g))

En additionnant membre à membre ces deux relations et en utilisant le théorème du rang...

Posté par
blang
re : espaces vecoriels 24-03-08 à 21:47

Tiens, salut Tigweg

Posté par
Tigweg Correcteur
re : espaces vecoriels 24-03-08 à 21:48

Salut blang!

Posté par
blang
re : espaces vecoriels 24-03-08 à 21:49

Je vois que tu es sur le pont, je peux aller dormir tranquille

Posté par
Tigweg Correcteur
re : espaces vecoriels 24-03-08 à 21:49

Je vais partir là!

Sur le pont?

Posté par
machin
re : espaces vecoriels 24-03-08 à 21:55

merci Tigweg, merci  blang,
c'est bon

Posté par
Tigweg Correcteur
re : espaces vecoriels 24-03-08 à 21:56

Avec plaisir pour ce qui me concerne!



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