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Application linéaire polynomial f: P-->AP'-A'P

Posté par
luchar 24-03-08 à 21:58

Bonsoir à tous,

J'ai un problème qui s'intéresse à l'application polynomiale f(P) = AP'-A'P avec P' et A' polynômes dérivés de P et A.

On a m entier naturel supérieur ou égal à 2, n entier naturel non nul strictement inférieur à m/2.
A est le polynôme défini par A= Xn+an-1Xn-1+...+a1X+a0

f application de m[X] dans [X] telle que f(P)AP'-A'P

1.a) déterminer en fct de m et n la valeur maximale du degré du polynôme f(P)
1.b) montrer que f est linéaire
1.c) Q polynôme de [X] tq QA soit dans m[X]. Détermine f(QA). Que peut on dire de Ker(f) ?
1.d) Justifier l'existence d'un intervalle I sur lequel A ne s'annule pas
1.e) Montrer que Ker(f) est la droite vectorielle engendrée par A (on pourra dériver une fonction judicieusement choisie sur I)

Pas de problème pour les questions 1.a à 1.d
On trouve f(QA)=A'AQ et comme Ker(f) est constitué des polys vérifiant f(P)=0, en posant P=QA on voit que QAKer(f) (car f(QA)=0).

Par contre la 1.e) me cause du soucis : j'ai tenté de trouvé une fonction, mais je n'arrive pas à voir le lien entre avoir une dérivée "qui nous aide" et déterminer que Ker(f)=vect(A)...
Ne voyant pas comment utiliser de fonction (j'ai pensé à
Par le calcul on voit que f(A)=0 donc vect(A) est inclus dans Ker(f)...

J'ai pensé à des fonctions comme : P*A+f(), entre autres, mais ne voyant pas à quoi on doit parvenir j'avoue être un peu au point mort pour cette question...

Merci d'avance pour votre aide !

Posté par
Nightmarere : Application linéaire polynomial f: P-->AP'-A'P 24-03-08 à 22:03

Bonsoir

Quelle est la dérivée de 3$\rm \frac{P}{A} ?

Posté par
lucharre : Application linéaire polynomial f: P-->AP'-A'P 24-03-08 à 22:07

Bonsoir,
Ton écriture me perturbe... mon prof nous a dit qu'écrire un polynôme divisé par un autre n'avait aucun sens (du moins pour maintenant)...

Posté par
Nightmarere : Application linéaire polynomial f: P-->AP'-A'P 24-03-08 à 22:12

Et pourtant... Ca s'appelle une fraction rationnelle.

3$\rm \(\frac{P}{A}\)'=\frac{AP'-A'P}{A^{2}}
Ainsi :
3$\rm f(P)=\frac{1}{A^{2}}\(\frac{P}{A}\)'
3$\rm f(P)=0\Leftrightarrow \(\frac{P}{A}\)'=0\Leftrightarrow \frac{P}{A}=\lambda\Leftrightarrow P=\lambda A

CQFD

Posté par
lucharre : Application linéaire polynomial f: P-->AP'-A'P 24-03-08 à 22:15

Merci pour ta réponse... je vais tâcher de voir avec lui ce que l'on peut écrire alors... on vient juste de faire le cours sur les polynômes, mais pas encore les fractions rationnelles, résultat ils nous a bien averti que d'écrire P(X)/Q(X) n'aurait aucun sens...

Merci encore & bonne soirée

Luchar

Posté par
Nightmarere : Application linéaire polynomial f: P-->AP'-A'P 24-03-08 à 22:18

On te demande de passer par les fonctions donc passe par les fonctions, je ne pense pas qu'il t'interdise d'écrire P/Q dans le cas où P et Q sont des fonctions polynômiales... Enfin ça revient au même.

Posté par
lucharre : Application linéaire polynomial f: P-->AP'-A'P 24-03-08 à 22:19

Oui c'est vrai qu'il y a cette fameuse nuance... Tout dans la subtilité (ce qui n'est pas forcément la meilleure des choses à 10h00 du soir, enfin bon ^^)
Bonne soirée et merci !
Luchar.

Posté par
Nightmarere : Application linéaire polynomial f: P-->AP'-A'P 24-03-08 à 22:20

Je t'en prie, bonne soirée à toi aussi.

Posté par
jeansebre : Application linéaire polynomial f: P-->AP'-A'P 25-03-08 à 10:56

Bonjour

Citation :
3$\rm f(P)=\frac{1}{A^{2}}\(\frac{P}{A}\)'


Petite précision: c'est sans doute plutôt:

3$\rm f(P)= A^{2}\(\frac{P}{A}\)'


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