Bonsoir

Bah qu'est-ce que Vect par définition?

Salut !

k1*(0,1,1) + k2*(1,1,1)=(0,k1,k1)+(k2,k2,k2)=(k2,k1+k2;k1+k2)=(2,-1,-1)

A toi : un système linéaire à résoudre

Nightmare :

Par définition, Vec est un sous espace vectoriel engendré par une famille de vecteur et donc de part cette définition, F est un R espace vectorriel ?
Ici, F est donc le plus petit sous espace vectoriel contenant u1,u2 et u3.

Cette réponse suffit elle a répondre pleinement a la question a) ou me manque t il qq chose d'autre ?




Sinon, pour la question b) :
Soit (x,y,z) un vecteur de R3, je vais essayer de montrer qu'il existe a, b et c tq :

(x,y,z) = a(0,1,1) + b(1,1,1) + c(2,-1,-1)

(x,y,z) = (b+2c , a+b-C , a+b-c)

x = b+2c
y = a+b-C
z = a+b-c

et le je bloque un peu pour résoudre de système ....
je vois bien que y=z et donc x = b+2c j'arrive pas a conclure.


Pour la question C) pas de pb, c'etait peut etre la seule que j'ai pu faire tout de suite sans regarder le cours

Re salut

Pour la a) effectivement par définition F est un espace vectoriel (puisqu'un sev est lui même un ev).

Par contre attention remarque de français : "de par" ne se dit pas

b) Pourquoi faire tout ça? Tout est dans la définition que tu as donné de Vect :
Vect(F) est le sev engendré par la famille F.

Donc Vect{ (0,1,1) ; (1,1,1) ; (2,-1,-1) } est engendré par (0,1,1) ; (1,1,1) ; (2,-1,-1)

j'ai bien avancé sur cette exo :

b) plus de pb, je me refere a la définition

c) pour k1 et k2, j'ai resolu le systeme de 3 eq à 2 inconnus : k1 = 2, k3 = -3

d )je me suis appuyé sur les reponses precedentes de c) et b). Le 3 eme vecteur est une combinaison linéaire des 2 autres. Donc la famille A est aussi generatrice de F

e) avec la dfinition de la famille libre, j'ai cherché a1*( 0,1,1) + a2*(1,1,1) = (0,0,0)
et je trouve bien a1 = a2 = 0 donc A est libre.

f)comme la famille A est generatrice et libre, c'est donc une base de F.

g) la je coince un peu... avez vous des pistes a me donner ?

Pour la g) il faut voir ça graphiquement.

R^3 c'est l'espace. A priori notre F c'est un plan (puisqu' engendré par seulement deux vecteurs).
A partir de là, on se dit qu'on va avoir du mal à obtenir tous les vecteurs de l'espace non?

Essaye de trouver un vecteur de R^3 qui n'est pas combinaison linéaire des vecteurs de A.

R3 est de dimension 3
donc A qui est de dimension 2 ne peut pas etre une base de R3

oki merci pour tout

Oui cet argument est rapide, mais je ne pensais pas que tu avais vu la notion de dimension...

Ceci étant, A n'est pas de dimension 2 mais de cardinal 2 (on parle de dimension pour un espace vectoriel et de cardinal pour une famille. Je rappelle que la dimension d'un ev est le cardinal d'une de ses bases.)

Je crois que j'ai déjà abordé la notion de dimension ....

R3 est bien de dimension 3 ?
Et A, une famille composée de 2 vecteurs peut uniquement être une base d'un espace vectorielle de dimension 2.

c'est un peu mieux ?