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Algèbre : Base orthogonale, projeté orthogonal, rotation
Bonsoir,
Après une courte période durant laquelle j'ai su me débrouiller seul grâce à l'aide prodiguée sur ce serveur, je me retrouve à nouveau dans une impasse avec l'exercice qui suit. Une nouvelle fois, merci à ceux qui me liront.
Je donne l'énoncé puis ce que je pense avoir réussi à faire.
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Enoncé:
Espace vectoriel condidéré : espace euclidien R3 muni du produit scalaire.
Soit F le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs v1 = (1, 0, -1) et v2 = (0, -1, 1)
1°)Donner une équation cartésienne de ces deux vecteurs
2°)Déterminer une base orthogonale (u1, u2) de F, à l'aide de l'algorithme de Gram-Schmidt appliqué aux vecteurs (v1, v2)
3°)Compléter cette base de F en une base orthonormée directe B = (u1,u2,u3) de R3 ( l'orientation étant donnée par la base canonique)
4°)Calculer, pour un vecteur v de coordonnées (x,y,z) dans la base canonique, le projeté orthogonal de v sur le sous-espace F. En déduire la matrice dans la base canonique de la projection orthogonale Pf. Quelle est la matrice de Pf dans la base B?
5°) Déterminer la matrice dans la base B, puis dans la base canonique, de la symétrie orthogonale Sf par rapport à F.
6°)Mêmes questions pour la rotation d'angle 
/3 et d'axe F(orthogonal)
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Ce que j'ai fait :
1°) J'ai résolu det ( 1 0 x ) = 0
( 0 -1 y )
(-1 1 z )
Je trouve -x - y - z = 0
2°) Je trouve u1 : 1/
(3) (1,0,-1)
u2 : (2)/(3) (1/2,-1,1/2)
3°) Je résous le système (u1 | u3) = 0 et (u2 | u3) = 0
je tombe sur 1/2x - y + 1/2z = 0 et x - z = 0
soit x = y = z
J'espère que ça c'est juste, après je ne comprends pas trop l'histoire de la directivité donnée par la base canonique. Je ne saurais pas dire si c'est direct ici...
4°)Là j'ai du mal à me représenter les choses...
Merci d'avance pour toutes les réponses à venir! 
Pour la 4. Revient à la caractérisation du projeté orthogonal :
Si (e1,...,en) est une base de F, le projeté orthogonal p(x) d'un vecteur x sur F vérifie
Salut
1°) j'ai mal écrit, c'est une équation cartésienne du sous-espace F
4°) Merci, je comprends la formule, mais... ça ne m'aide pas beaucoup ^^
D'instinct, je dirais la projection de la base canonique dans la base B, au feeling, sans trop savoir...
En essayant d'appliquer ta formule :
p(v) = v' = (v | u1).u1 + (v | u2).u2 + (v | u3).u3
= 1/2(x-z) + 2/3(1/2x - y + 1/2z) + x + y +z
= ...
= 11/6x + 5/6z + 1/3y
=>> v'(11/6x, 1/3y, 5/6z) ?
Je ne sais pas trop si dans ce contexte je peux dire que le produit scalaire c'est la somme des coordonnées multipliées soit : x1x2 + y1y2 + ...
Bonjour, je n'ai pas avancé, je ne comprends pas trop, et c'est pas faute de n'avoir essayé...
Quelqu'un peut m'aider? merci
Re
A priori on travail avec le produit scalaire sur R^3 qui est donc celui que tu as utilisé.
Ensuite, pour avoir la matrice de Pf dans la base canonique il suffit d'avoir les composantes des vecteurs de cette base dans cette même base.
Calcule donc l'image des vecteurs de base par Pf et exprime les dans cette même base. Hop, tu as ta matrice.
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