Bonjour à tous.

Voilà j'ai du mal à raisonner clairement sur l'exercice suivant :

Soit R₃[X] le R-espace vectoriel des polynomes de degré inférieur ou égal à 3 à coefficients dans R. Soit u l'endomorphisme de R₃[X] dont la matrice dans la base (1,X,X²,X³) est:

1  0  1  0
1  1  0  2
1 -1  0  0
0  0  1 -1

Je dois donner une base de Ker(u), une base de Im(u) et puis dire si u est injectif ou surjectif...

Voici mon raisonnement:

Pour trouver une base de Ker(u) je résouds le système :

a+c=0
a+b+2d=0
a-b=0
c-d=0

auquel je trouve (1,1,-1,-1) comme solution donc j'en conclus que x+X-X²-X³ est une base de Ker(u).

Pour trouver une base de Im(u), on a Dim Ker(u)=1 donc Dim Im(u)=3...
On remarque que P₁+P₂=P₃+P₄ soit P₄=P₁+P₂-P₃
donc (P₁,P₂,P₃) = ((1+X+X²),(X-X²),(1+X³)) forme une base de Im(u).

Ker(u)(0,0,0,0) donc u non injectif
Im(u) Dim R₃[X]=4 donc u non surjectif.

Merci de me dire si mon raisonnement est correct ou si je me trompe complètement et dans ce cas de bien vouloir m'aider